Question

Найдите точки перегиба и определите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции y=2x/(x^2-4)

Answer 1

Вычислим первую производную(по правилам производной дроби)
$y'= \frac{(2x)'*(x^2-4)-2x*(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^2-8-4x^2}{(x^2-4)^2}=- \frac{2(x^2+4)}{(x^2-4)^2}$
Точка перегиба ищется по 2 производной
$y''=(- \frac{2(x^2+4)}{(x^2-4)^2} )'= \frac{4x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$
Приравняем к нулю
$\frac{4x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}=0 \\ 4x(x^2+12)=0 \\ 4x=0 \\ x_1=0 \\ x^2+12=0 \\ x^2=-12 \\ x \in \O$

(0;0) - точка перегиба

__-___(-2)__+___(0)__-__(2)___+____>

график вогнут на промежутке  (-2;0)U(2;+∞), а выпуклый - (-∞;-2)U(0;2)

Answer 2

Y`=[2(x²-4)-2x*2x]/(x²-4)²=(2x²-8-4x²)/(x²-4)²=(-2x²-8)/(x²-4)²
y``=[-4x(x²-4)²-4x(x²-4)(-2x²-8)]/(x²-4)^4=-4x(x²-4)(x²-4-2x²-8)/(x²-4)^4=-4x(-x²-12)/(x²-4)^4=
=4x(x²+12)/(x²-4)³=0
x=0   критическая точка
x=-2 и  x=2 точки разрыва

Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:

       _              +                _            +

           -2                0                2

График функции y=4x/(x2-4)3 является вогнутым на (-2;0) U (2;∞) и выпуклым на (-∞;-2) U (0;2). В начале координат существует перегиб графика.

При переходе через точки x=-2 и x=2 вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция  терпит в них бесконечные разрывы.