Question

Дана функция f(x)=2х-3∛(х^2 ) найти: а)критические точки функции f(x) на отрезке [-1; 8] б)наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 8]

Answer 1

$\tt \displaystyle f(x)=2x-3\cdot \sqrt[3]{x^2} \\f'x)=(2x)'-3(x^{\frac23 }) '=2-3\cdot \frac23 \cdot x^{-\frac13 } =\\=2-\frac2{\sqrt[3]{x} } =\frac{2\cdot \sqrt[3]{x} -2}{\sqrt[3]{x}} =\frac{2(\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[3]{x} }$

а) Критические точки:

$\tt \displaystyle \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt[3]{x} -1=0\\\sqrt[3]{x} =0\end{matrix} \\x\in [-1;8]\end{matrix}\quad \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt[3]{x} =1\\x=0\end{matrix}\\x\in [-1;8]\end{matrix}\\\\\begin{Bmatrix}x=\{0;1\}\\x\in [-1;8]\end{matrix}\qquad x=\{0;1\}.$

б) $\tt \displaystyle f_{min},f_{max},x\in [-1;8]-?$

f(-1) = 2·(-1)-3·$\sqrt[3]{(-1)^2}$ = -2-3 = -5

f(1) = 2·1-3·$\sqrt[3]{1^2}$ = 2-3 = -1

-5 < -1 ⇒ $\tt \displaystyle f_{min} =f(-1)=-5$

f(0) = 2·0-3·$\sqrt[3]{0^2}$ = 0-0 = 0

f(8) = 2·8-3·$\sqrt[3]{8^2}$ = 16-3·$\sqrt[3]{2^6}$ = 16-12 = 4

4 > 0 ⇒ $\tt \displaystyle f_{max} =f(8)=4$

ответ: а) x = {0;1}; б) $\tt \displaystyle f_{min} =-5,f_{max} =4.$