Question

Решить уравнение 1)log2(x^2-x+5,75)=lg 0,01 2)log4(x-1)-log2(x-5)=0,5

Answer 1

$\log_2(x^2-x+5.75)=\lg0.01 \\ \log_2(x^2-x+5.75)=-2$
Отметим ОДЗ
$x^2-x+5.750$
Воспользуемся свойством логарифмов
$\log_2(4(x^2-x+5.75))=\log_21 \\ 4(x^2-x+5.75)=1 \\ 4x^2-4x+23=1 \\ 4x^2-4x+22=0 \\ 2x^2-2x+11=0 \\ D=(-2)^2-4\cdot2\cdot11=-84$
Дискриминант отрицателен, значит уравнение корней не имеет.

ответ: нет решений.

$\log_4(x-1)-\log_2(x-5)=0.5$
Отметим ОДЗ:$\left \{ {{x-50} \atop {x-10}} \right. \to \left \{ {{x5} \atop {x1}} \right. \to x \in (5;+\infty)$
Воспользуемся формулами перехода к новому основанию логарифма
Формула: $\log_au= \frac{\log_bu}{\log_ba}$
$\frac{\log_2(x-1)}{\log_24} -\log_2(x-5)=0.5 \\ \\ \log_2((x-1)^{ \frac{1}{2} })=\log_2(2^{0.5}(x-5)) \\ \\ (x-1)^{ \frac{1}{2} }=2^{0.5}(x-5) \\ \\ x-1=2(x^2-10x+25) \\ \\ 2x^2-21x+51=0$
Найдем дискриминант и корни
$D=(-21)^2-4\cdot2\cdot51=33 \\$
$x_1=\frac{21- \sqrt{33} }{4}$ - не удовлетворяет ОДЗ
$x_2= \frac{21+ \sqrt{33} }{4}$

ответ: $\frac{21+ \sqrt{33} }{4}$