Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: (x cos y - y sin y) dy + (x sin y + y cos y ) dx= 0

Answer 1

$(xcos(y)-ysin(y))dy+(x+sin(y)+ycos(y))dx=0$
$xsin(y)+ycos(y)+dy(xcos(y)-ysin(y))=0$
Допустим, R(x,y)=xsin(y)+ycos(y) и S(x,y)=xcos(y)-ysin(y).
Это не строгое уравнение,т.к. R'(x,y)=xcos(y)-ysin(y)+cos(y)≠cos(y)=
dS(x,y).
Найдем интегрирующий фактор u(x), такой что u(x)*R(x,y)+u(x)dy*
S(x,y)=0.
Это означает: (u*R(x,y))'=d(u(x)*S(x,y)):
$(cos(y)+xcos(y)-ysin(y)u(x)=du(xcos(y)-ysin(y))+cos(y)u(x)$
$\frac{du}{u}=1$
$ln(u)=1$
$u=e^x$
$e^x(xsin(y)+ycos(y))+(e^x(xcos(y)-ysin(y))dy=0$

Допустим, P(x,y)=e^x(xsin(y)+ycos(y)) и Q(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)).
Это строгое уравнение,т.к. P'(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)+cos(y))=dQ(x,y).
Введем f(x,y), такой что df(x,y)=P(x,y) и f'(x,y)=Q(x,y):
Затем, решение будет для f(x,y)=c1, где c1- произвольная переменная.
$f(x,y)=\int{e^x(ycos(y)+xsin(y)} dx=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1)+g(y)$;
где g(y)- некоторая функция от y.
$f'(x,y)=(e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))+g(y))'=$
$=e^x(cos(y)+cos(y)(x-1)-ysin(y))+g'(y)$
Сделаем замену f'(x,y)=Q(x,y):
$e^x(cos(y)+cos(y)(x-1)-ysin(y))+g'(y)=e^x(xcos(y)-ysin(y))$
Возьмем g'(y):
$g'(y)=0$
$g(y)=\int0\ dy=0$
Подставим g(y) к f(x,y):
$f(x,y)=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))$
Получаем решение:
$e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))=c_1$