Question

Log54(168)=? если log7(12)=a log12(24)=b

Answer 1

  
 $log_{7}12=a\\ log_{12}24=b\\\\ log_{54}168=log_{54}12+log_{54}7+log_{54}2=$ 
 преобразуем ее к виду 
$\frac{1}{log_{12}2+3log_{12}3}+\frac{1}{log_{7}2+3log_{7}3}+\frac{1}{1+3log_{2}3}$
  
теперь найдем каждое слагаемое  
 $log_{12}24=b\\ log_{7}12=a\\\\ log_{12}24=log_{12}12+log_{12}2=b\\ 1+log_{12}2=b\\ log_{12}2=b-1\\\\ log_{12}24=log_{12}8+log_{12}3=3*log_{12}2+log_{12}3=b\\ 3(b-1)+log_{12}3=b\\ log_{12}3=3-2b\\\\ log_{54 }12 = \frac{1}{b-1+3(3-2b)} =\frac{1}{8-5b}$

$log_{7}2\\ log_{7}3$ найдем эти слагаемые 
 заметим что 
 $log_{7}12 = \frac{1}{log_{12}7}=a\\ log_{12}24=b\\ ab=\frac{log_{12}24}{log_{12}7} = log_{7}24=log_{7}3+3log_{7}2=ab\\\\ log_{7}12=log_{7}3+2log_{7}2=a\\\\$ 
 то есть можно решить      систему 
 $log_{7}24=log_{7}3+3log_{7}2=ab\\\\ log_{7}12=log_{7}3+2log_{7}2=a\\\\ x+3y=ab\\ x+2y=a\\\\ y=ab-a\\ x=3a-2ab\\\\ log_{54}7 = \frac{1}{8a-5ab}\\\\$

 $log_{2}3\\ log_{12}24 = 1+log_{12}2 = 1+\frac{1}{2+log_{2}3}=b \\ log_{2}3 = \frac{3-2b}{b-1}\\ log_{54}2 = \frac{1}{1+3*\frac{3-2b}{b-1}}\\\\ log_{54}168 = \frac{1}{8-5b}+\frac{1}{a(8-5b)} + \frac{b-1}{8-5b} = \frac{a+a(b-1)+1}{a(8-5b)} = \\ \frac{ab+1}{8a-5ab}$