Question

Будь-ласка іть )) розвязати рівняння: 1 ) 2) 3)

Answer 1

1)
$\cos^2x+\cos x=2;\\ cos x=1, x=\pi n,\ \ n\in Z$
тут все просто, так як косинус не може бути більшим за одиницю, і його квадрат, відповідно, також не більше одиниці, а їх сума рівна 2, тому все просто, можу показати і повний розв’язок
$\cos^2x+\cos x=2;\\ \left|\left|\cos x=t; -1\leq t\leq1;\ \ \left|t\right|\leq1;\ \ t\in\left[-1;1\right]\right|\right|\\ t^2+t=2;\\ t^2+t-2=0;\\ D=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9=\left(\pm3\right)^2;\\ t_1=\frac{-1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1+3}{2}=-\frac42=-2\notin\left[-1;1\right];\\ t_2=\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac22=1\in\left[-1;1\right];\\ \cos x=1;\ \ x=\pi n,\ n\in Z$

2)
$4\sin^2x+4\sin x-3=0;\\ \left|\left|\sin x=t; -1\leq t\leq1;\ \ \left|t\right|\leq1;\ \ t\in\left[-1;1\right]\right|\right| 4t^2+4t-3=0;\\ D=16^2-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64=\left(\pm8\right)^2;\\ t_1=\frac{-4}{2\cdot4}-\frac{8}{2\cdot4}=\frac{-4}{8}-\frac88=-\frac12-1=-1\frac12\notin\left[-1;1\right];\\ t_2=\frac{-4}{2\cdot4}+\frac{8}{2\cdot4}=\frac{-4}{8}+\frac88=-\frac12+1=\frac12\in\left[-1;1\right];\\ \sin x=\frac12;\ \ x=\left(-1\right)^n\frac\pi6+\pi n,\ n\in Z$

3)

$4\cos^2x+4\sin x-1=0;\\ 4\left(1-\sin^2x\right)+4\sin x-1=0;\\ 4-4\sin^2x+4\sin x-1=0;\\ -4\sin^2x+4\sin x+3=0;\\ 4\sin^2x-4\sin x-3=0;\\ \left|\left|\sin x=t;\ \ -1\leq t\leq 1;\ \ \left|t\right|\leq1;\ \ t\in\left[-1;1\right];\right|\right|\\ 4t^2-4t-3=0;\\ D=(-4)^2-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64=\left(\pm8\right)^2;\\$
$t_1=\frac{-(-4)}{2\cdot4}-\frac{8}{2\cdot4}=\frac48-\frac88=\frac12-1=-\frac12\in\left[-1;1\right];\\ t_2=\frac{-(-4)}{2\cdot4}+\frac{8}{2\cdot4}=\frac48+\frac99=\frac12+1=1\frac12\notin\left[-1;1\right];\\ \sin x=-\frac12;\\ x=\left(-1\right)^n\left(-\frac\pi6\right)+\pi n, \ n\in Z;\\ x=\left(-1\right)^{n+1}\frac\pi6+\pi n, n\in Z$