Question

1. вычислить: а) log1/216; б) 51 +log53; в) log3135 - log320 + 2log36. 2. сравнить числа: log1/23/4 и log1/24/5. 3. решить уравнение: log5(2x – 1) = 2. 4. решить неравенство: log1/3(x – 5) > 1. 5. решить уравнение: log8x + log√2x = 14. 6. решить неравенство: log1/6(10 – x) + log1/6(x – 3) ≥ - 1. 7*.решить неравенство: log32 x -2log3 x ≤ 3.

Answer 1

1) а) По свойству $\log_\big{a^k}b=\dfrac{1}{k}\log_ab$ имеем , что 
$\log_\big{ \frac{1}{2} }16=\log_\big{2^{-1}}16=-\log_\big{2}16=-\log_\big{2}2^\big{4}=-4$

б) Используя свойство $\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)$, получим что
$51+\log53=\log10^{51}+\log53=\log(53\cdot 10^{51})$

в) $\log_335-\log_320+2\log_36=\log_3 \dfrac{35}{20} +\log_336=\log_3 \dfrac{35\cdot 36}{20} =\log_363$

Задание 2. Сравнить числа: $\log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{3}{4}$ и $\log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{4}{5}$

Поскольку $\dfrac{3}{4} \ \textless \ \dfrac{4}{5}$, то в силу монотонности функции($0\ \textless \ \dfrac{1}{2} \ \textless \ 1$ функция убывающая) имеем что 
$\log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{3}{4}\ \textgreater \ \log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{4}{5}$

Задание 3. Решить уравнение $\log_5(2x-1)=2$
ОДЗ уравнения: $2x-1\ \textgreater \ 0$  откуда   $x\ \textgreater \ 0.5$
$\log_5(2x-1)=\log_55^2\\ 2x-1=25\\ 2x=26\\ x=13$

Задание 4. Решить неравенство $\log_\big{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ 1$
ОДЗ: $x-5\ \textgreater \ 0$ откуда $x\ \textgreater \ 5$
$\log_\big{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ \log_\big{ \frac{1}{3} } \dfrac{1}{3}$
Поскольку основание $0\ \textless \ \dfrac{1}{3} \ \textless \ 1$, функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный
$x-5\ \textless \ \dfrac{1}{3} \\ \\ x\ \textless \ \dfrac{16}{3}$

С учетом ОДЗ получим окончательный ответ $x \in \bigg(5; \dfrac{16}{3}\bigg)$

Задание 5. Решить уравнение $\log_8x+\log_{ \sqrt{2} }x=14$
ОДЗ уравнения $x\ \textgreater \ 0$
Используя свойство $\log_\big{a^k}b=\dfrac{1}{k}\log_ab$, получим что
$\log_\big{2^3}x+\log_\big{2^{1/2}}x=14\\ \\ \dfrac{1}{3} \log_2x+2\log_2x=14~~|\cdot 3\\ \\ \log_2x+6\log_2x=14\cdot 3\\ \\ 7\log_2x=14\cdot 3~~|:7\\ \\ \log_2x=6\\ \\ x=2^6$

Задание 6. Решить неравенство $\log_\big{ \frac{1}{6} }(10-x)+\log_\big{ \frac{1}{6} }(x-3)\geq -1$
ОДЗ $\displaystyle \left \{ {{10-x\ \textgreater \ 0} \atop {x-3\ \textgreater \ 0}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{x\ \textless \ 10} \atop {x\ \textgreater \ 3}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x\in (3;10)}$

$\log_\big{ \frac{1}{6} }((10-x)(x-3))\geq -1\\ \\ \log_\big{ \frac{1}{6} }(-x^2+13x-30)\geq \log_\big{ \frac{1}{6} }6$
В силу монотонности функции логарифма имеем что
  $-x^2+13x-30\leq 6\\ -x^2+13x-36\leq 0~~|\cdot(-1)\\ x^2-13x+36\geq 0$
$(x-4)(x-9)\geq 0$      (*)
  Решением последнего неравенства (*) есть $x \in (-\infty;4]\cup[9;+\infty)$

С учетом ОДЗ $x \in [9;10)$ - ОТВЕТ.

Задание 7. Решить неравенство $\log_3^2x-2\log_3x \leq 3$
ОДЗ неравенства $x\ \textgreater \ 0$
Представим левую часть неравенства в следующем виде:
  $\log_3^2x-2\log_3x+1\leq 4\\ \\ (\log_3x-1)^2\leq 4\\ \\ |\log_3x-1|\leq 2\\ \\ -2\leq \log_3-1\leq 2~~|+1\\ \\ -1\leq \log_3x\leq 3$

Имеем совокупность неравенств $\left[\begin{array}{ccc}\log_3x\geq -1\\ \log_3x\leq 3\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~~~ \left[\begin{array}{ccc}x \geq \dfrac{1}{3}\\ x\leq 27 \end{array}\right$

И с учетом ОДЗ мы получим ответ $x \in \bigg[\dfrac{1}{3} ;27\bigg].$