Question

Пользуясь определением,найдите производную функции f в точке x0 а)f(x)=x^2+1 x0=-2 б)f(x)=2/x x0=3 в)f(x)=2x-1 x0=-4 г)f(x)=x^3 x0=2 3.продифференцируйте функцию а)f(x)=(x+2)*sinx б)f(x)=4/(9+7x)^5 в)f(x)=x^3-2/x+cos3x г)f(x)=x^2/x+3

Answer 1

решение представлено на фото

Объяснение:

Answer 2

Определение производной функции через предел.

$\displaystyle f'(x_0)= \lim_{x \to x_0}\dfrac{зf(x)}{зx}=\lim_{зx \to0}\dfrac{f(x_0+зx)-f(x_0)}{зx}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

a) $\displaystyle f'(-2)=\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2+1-(x^2_0+1)}{x+2}=\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2+1-4-1}{x+2}=\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2-4}{x+2}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to -2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\lim_{x \to -2}(x-2)=-2-2=-4$

б) $\displaystyle f'(3)=\lim_{x \to 3}\dfrac{\frac{2}{x}-\frac{2}{x_0}}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{3}}{x-3}=\frac{2}{3}\lim_{x \to 3}\frac{3-x}{x(x-3)}=\frac{2}{3}\lim_{x \to 3}-\frac{1}{x}=-\frac{2}{9}$

в) $\displaystyle f'(-4)=\lim_{x \to -4}\frac{2x-1-(2x_0-1)}{x+4}=\lim_{x \to -4}\frac{2x-1+8+1}{x+4}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to -4}\frac{2x+8}{x+4}=\lim_{x \to -4}\frac{2(x+4)}{x+4}=2$

г) $\displaystyle f'(2)=\lim_{x \to 2}\frac{x^3-x_0^3}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 2}(x^2+2x+4)=2^2+2\cdot 2+4=12$

3.

а) Продифференцируем функцию по формуле производной произведения: (uv)' = u' v + u v'

$f'(x)=(x+2)'\sin x+(x+2)(\sin x)'=\sin x+(x+2)\cos x$

б) $f'(x)=-\dfrac{4\cdot ((9+7x)^5)'}{(9+7x)^{10}}=-\dfrac{4\cdot 5(9+7x)^4\cdot (9+7x)'}{(9+7x)^{10}}=\\ \\ =-\dfrac{140}{(9+7x)^{6}}$

в) Аналогично по формуле производной частного

$f'(x)=\dfrac{(x^3-2)'(x+\cos 3x)-(x^3-2)(x+\cos 3x)'}{(x+\cos 3x)^2}=\\ \\\\ =\dfrac{3x^2(x+\cos 3x)-(x^3-2)(1-3\sin 3x)}{(x+\cos 3x)^2}$

г) По формуле производной частного:

$f'(x)=\dfrac{(x^2)'\cdot (x+3)-x^2\cdot (x+3)'}{(x+3)^2}=\dfrac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}=\dfrac{x^2+6x}{(x+3)^2}$