§ 97. Соотношения между элементами косоугольного треугольника.
Начнем с геометрического соотношения между углами треугольника:
А + В + С = 180°.
Заметим некоторые следствия из него.
а) Так как сумма значений А и В + С равна 180°, то синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтому sin (B + C) = sin A; cos (B+C)= — cos A; cos A = — cos {В + С).
Точно так же:
tg ( B+ C ) = — tg A.
б) Так как сумма значений и равна 90°, то сходные функции их соответственно равны (§ 17); например:
sin = cos ; sin = cos и т. д.
в) Полезно запомнить еще следующие соотношения между угламя треугольника:
l) sin A + sin B + sin С = 4 cos • cos • cos
2) tg A + tg B+ tg C = tg A • tg B • tg C;
3) ctg + ctg + ctg = ctg • ctg • ctg .
Вывод этих формул предоставляется учащемуся.
§ 98. Лемма. Во всяким треугольнике сторона равна диаметру описанного круга, умноженному на синус противолежащего угла.
Обозначая радиус описанного круга через R, докажем, например, что а = 2R • sin A, где угол А есть острый или тупой.
Доказательство. 1) Угол А острый (черт. 41). В oписанном круге из конца данной стороны проведем диаметр и соединим другие концы этой стороны и диаметра; получим прямоугольный треугольник. На чертеже 41 таким треугольником будет BDC; из него, на основании § 21, находим: BC = BD • sin D, или a = 2R• sin D; нo / D = / А1); следовательно, a = 2R• sin A. 1) Тот и другой измеряются половиной дуги ВС.
2) Угол А тупой. Сделаем такое же вс построение, как раньше. Из прямоугольного треугольника ВСЕ (черт. 42) найдем: a = 2R• sin E; но Е + А = 180°, следовательно sin E = sin A, поэтому a = 2R• sin A. Итак, вообще:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
§ 99. Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Требуется доказать, что:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Доказательство. По § 98 для всякого треугольника как остроугольного, так и тупоугольного имеем:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
Отсюда находим:
2R = a/sin A ; 2R = b/sin B ; 2R = c/sin C ,
следовательно:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Таким образом, для одного и того же треугольника частное от деления стороны на синус противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного круга.
Из соотношения a/sin A = b/sin B = c/sin C , переставляя члены пропорции, получим:
a : b : c = sin A : sin B : sin С,
т. е. во всяком треугольнике стороны, относятся между собой, как синусы противолежащих углов.
Пример. Определить a : b : c, если А : В : С= 3 : 4 : 5.
Так как А + В + С =180°, то сначала разделим 180° в отношении 3 : 4 : 5; получим А = 45°, B = 60° и С = 75°. Теперь по доказанному будем иметь:
a : b : c = sin 45° : sin 60° : sin 75°.
Подставляя сюда _ _
sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 и sin 75° = cos 30°/2= 1/2
получим, освободясь от знаменателей:
a : b : c = √2 : √3 : .
§ 100. Теорема. Сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу полуразности тех же углов.
Доказательство. По §98 находим:
a + b = 2R {sin A + sin В) и а — b = 2R (sin A — sin В);
отсюда:
Применяя здесь ко второй части формулу (XVII) (§ 65), получим:
( a + b ) : (а — b ) = tg : tg ,
чем и выражается теорема.
§ 101. Формулы Мольвейде. Так называются следующие две пропорции, которые содержат отношения суммы и разности двух сторон треугольника к третьей стороне:
Доказательство. 1) По §98:
a + b = 2R (sin A + sin B) и c = 2R • sin C;
отсюда
Преобразуем вторую часть:
но sin = cos , так как + == 90°. По сокращении же дроби (b) будет окончательно:
2) Таким же образом получим:
§ 102. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними.
Требуется доказать, что а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A (одинаково и в случае острого и в случае тупого;
Доказательство. 1) Если угол А острый, то на основании теоремы геометрии о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем (черт. 43):
а2 = b2 + с2 — 2b • AD,
но из прямоугольного треугольника ABD можно заменить AD через с • cos A; тогда получим:
а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A.
2) Если угол A тупой, то применяем теорему о квадрате стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). Получаем
а2 = b2 + с2 + 2b • AE.
Из треугольника ABC находим:
AE = с • соs α,
но так как
α = / BAE = 180° — А,
то
cos α = cos (180° — А) = — cos A,
поэтому
АЕ = — с • cos A.
Подставляя это выражение в геометрическую формулу, получим:
Функция линейная, если наивысшая степень при переменной равна 1, то есть представима в виде u = a*t + b Поэтому, если нам удастся представить нашу функцию в таком виде, значит нам удастся доказать линейность предложенной функции. Разложим числитель и знаменатель предложенной функции на элементарные множители t^4 - 8*t^2 + 16 = (t^2 - 4)^2 = (t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2) (t+2)*(t^2-4) = (t+2)*(t+2)*(t-2) Таким образом, наша функция имеет вид u=(t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)/(t+2)*(t+2)*(t-2). А вот теперь ЕСЛИ сомножитель в знаменателе ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ, на него можно сократить, после сокращения получим u=t-2 то есть в самом деле функция линейная, при этом а=1, b=-2. ОДНАКО, она линейная ТОЛЬКО если действительно наше предположение, то есть при условии t#+-2(при этих значениях некоторые сомножители знаменателя обращаются в 0, а на 0 делить нельзя!). Таким образом ответ u=t-2 , область определения t#+-2
Гораздо интереснее ответить на вопрос А что же с функцией происходит в этих особых точках? В нашем случае всё замечательно, значения исходной функции в этих точках НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ОДНАКО пределы как слева, так и справа существуют и равны друг другу. То есть функция практически непрерывная и гладкая, такие функции можно ДОПОЛНИТЬ двумя точками(значения пределов) и функция становится совсем линейной. в нашем случае можно ДОПОЛНИТЬ таким образом u(-2)=-4 u(2)= 0 но это уже совсем другая история и к решению нашей исходной задачи, вообще говоря, не имеет никакого отношения.
Не люблю проценты. Избавляемся от них. Собираемся взять 100x 1-го сплава, 100y второго, 100z третьего. Ясно, что y>0 - иначе не получить 20% меди. 1 сплав: 60x; 15x; 25x это я указываю количество каждого вещества. 2 сплав: 0y; 30y; 70y 3 сплав: 45z; 0z; 55z
Общий сплав: 100(x+y+z), меди в нем 15x+30y; по условию медь составляет 20%, то есть одну пятую часть сплава:
15x+30y=20(x+y+z); 3x+6y=4x+4y+4z; x=2y-4z.
Поскольку y>0, можно считать, что y=1; x=2-4z.
Естественные ограничения дают такие условия:
x∈[0;2]; z∈[0;1/2]
Нас спрашивают про содержание алюминия, то есть про возможные значения
X. Косоугольные треугольники.
§ 97. Соотношения между элементами косоугольного треугольника.
Начнем с геометрического соотношения между углами треугольника:
А + В + С = 180°.
Заметим некоторые следствия из него.
а) Так как сумма значений А и В + С равна 180°, то синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтому
sin (B + C) = sin A; cos (B+C)= — cos A; cos A = — cos {В + С).
Точно так же:
tg ( B+ C ) = — tg A.
б) Так как сумма значений и равна 90°, то сходные функции их соответственно равны (§ 17); например:
sin = cos ; sin = cos и т. д.
в) Полезно запомнить еще следующие соотношения между угламя треугольника:
l) sin A + sin B + sin С = 4 cos • cos • cos
2) tg A + tg B+ tg C = tg A • tg B • tg C;
3) ctg + ctg + ctg = ctg • ctg • ctg .
Вывод этих формул предоставляется учащемуся.
§ 98. Лемма. Во всяким треугольнике сторона равна диаметру описанного круга, умноженному на синус противолежащего угла.
Обозначая радиус описанного круга через R, докажем, например, что а = 2R • sin A, где угол А есть острый или тупой.
Доказательство. 1) Угол А острый (черт. 41). В oписанном круге из конца данной стороны проведем диаметр и соединим другие концы этой стороны и диаметра; получим прямоугольный треугольник. На чертеже 41 таким треугольником будет BDC; из него, на основании § 21, находим: BC = BD • sin D, или a = 2R• sin D; нo / D = / А1); следовательно, a = 2R• sin A.
1) Тот и другой измеряются половиной дуги ВС.
2) Угол А тупой. Сделаем такое же вс построение, как раньше. Из прямоугольного треугольника ВСЕ (черт. 42) найдем: a = 2R• sin E; но Е + А = 180°, следовательно sin E = sin A, поэтому a = 2R• sin A. Итак, вообще:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
§ 99. Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Требуется доказать, что:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Доказательство. По § 98 для всякого треугольника как остроугольного, так и тупоугольного имеем:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
Отсюда находим:
2R = a/sin A ; 2R = b/sin B ; 2R = c/sin C ,
следовательно:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Таким образом, для одного и того же треугольника частное от деления стороны на синус противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного круга.
Из соотношения a/sin A = b/sin B = c/sin C , переставляя члены пропорции, получим:
a : b : c = sin A : sin B : sin С,
т. е. во всяком треугольнике стороны, относятся между собой, как синусы противолежащих углов.
Пример. Определить a : b : c, если А : В : С= 3 : 4 : 5.
Так как А + В + С =180°, то сначала разделим 180° в отношении 3 : 4 : 5; получим
А = 45°, B = 60° и С = 75°. Теперь по доказанному будем иметь:
a : b : c = sin 45° : sin 60° : sin 75°.
Подставляя сюда _ _
sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 и sin 75° = cos 30°/2= 1/2
получим, освободясь от знаменателей:
a : b : c = √2 : √3 : .
§ 100. Теорема. Сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу полуразности тех же углов.
Доказательство. По §98 находим:
a + b = 2R {sin A + sin В) и а — b = 2R (sin A — sin В);
отсюда:
Применяя здесь ко второй части формулу (XVII) (§ 65), получим:
( a + b ) : (а — b ) = tg : tg ,
чем и выражается теорема.
§ 101. Формулы Мольвейде. Так называются следующие две пропорции, которые содержат отношения суммы и разности двух сторон треугольника к третьей стороне:
Доказательство. 1) По §98:
a + b = 2R (sin A + sin B) и c = 2R • sin C;
отсюда
Преобразуем вторую часть:
но sin = cos , так как + == 90°. По сокращении же дроби (b) будет окончательно:
2) Таким же образом получим:
§ 102. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними.
Требуется доказать, что а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A (одинаково и в случае острого и в случае тупого;
Доказательство. 1) Если угол А острый, то на основании теоремы геометрии о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем (черт. 43):
а2 = b2 + с2 — 2b • AD,
но из прямоугольного треугольника ABD можно заменить AD через с • cos A; тогда получим:
а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A.
2) Если угол A тупой, то применяем теорему о квадрате стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). Получаем
а2 = b2 + с2 + 2b • AE.
Из треугольника ABC находим:
AE = с • соs α,
но так как
α = / BAE = 180° — А,
то
cos α = cos (180° — А) = — cos A,
поэтому
АЕ = — с • cos A.
Подставляя это выражение в геометрическую формулу, получим:
а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A,
т, е. то же самое, что и в первом случае.