a) (2x - y)(x + 2y) = -3
1) 2x - y = 3 => y = 2x - 3
x + 2y = -1 => x + 2(2x - 3) = - 1 =>
x + 4x - 6 = -1 => 5x = 5 => x = 1
y = 2x - 3 = 2 - 3 = -1.
Первое решение (x, y) = (1, -1)
2) 2x - y = - 3 => y = 2x + 3
x + 2y = 1 => x +2(2x + 3) = 1 =>
x + 4x + 6 = 1 => 5x = - 5 => x = -1
y = 2x + 3 = -2 + 3 = 1.
Второе решение (x, y) = (-1, 1)
3) 2x - y = 1 => y = 2x - 1
x + 2y = -3 => x + 2(2x - 1) = -3 =>
x + 4x - 2 = -3 => 5x = -1 => x = - 1/5 - нецелое.
4) 2x - y = -1 => y = 2x + 1
x + 2y = 3 => x + 2(2x + 1) = 3 =>
x + 4x + 2 = 3 => 5x = 1 => x = 1/5 - нецелое.
Всего два решения (x, y) = (1, -1) и (x, y) = (-1, 1)
б) 2x² + xy - y² = -3
x² - y² + x² + xy = -3
(x - y)(x + y) + x(x + y) = -3
(x + y)(x - y + x) = -3
(x + y)(2x - y) = -3
1) x + y = 3 => y = 3 - x
2x - y = -1 => 2x - 3 + x = -1 =>
3x - 3 = -1 => 3x = 2 => x = 2/3 - нецелое
2) x + y = 1 => y = 1 - x
2x - y = -3 => 2x - 1 + x = -3 =>
3x -1 = -3 => 3x = -2 => x = -2/3 - нецелое
3) x + y = -3 => y = -3 - x
2x - y = 1 => 2x +3 + x = 1 =>
3x + 3 = 1 = 3x = -2 => x = -2/3 - нецелое
4) x + y = -1 = y = -1 - x
2x - y = 3 => 2x +1 + x = 3 =>
3x + 1 = 3 => 3x = 2 => x = 2/3 - нецелое.
Второе уравнение не имеет решений в целых числах.
5*sin(x)=sin(y)
3*cos(x)+cos(y)=2
Возведем обе части первого уравнения в квадрат
25*sin^2(x)=sin^2(y)
Воспользуемся формулой
cos^2(A)+sin^2(A)=1
и изменим правую часть равенства
25*sin^2(x)=1-cos^2(y)
cos^2(y)=1-25*sin^2(x) (*)
Второе уравнение системы запишем следующим образом
cos(y)=2-3*cos(x)
И тоже обе части возведем в квадрат
cos^2(y)=4-12*cos(x)+9*cos^2(x) ( ** )
В уравнениях (*) и (**) левые части одинаковые, поэтому приравниваем правые части
1-25*sin^2(x)= 4-12*cos(x)+9*cos^2(x)
Откуда
1-25*(1-cos^2(x))= 4-12*cos(x)+9*cos^2(x)
4*cos^2(x)+12*cos(x)-28=0
Положим
cos(x)=t,
будем иметь
16*t^2+12*t-28=0
4*t^2+3*t-7=0
D=b^2-4ac=9+112=121
t1,2=(-b±sqrt(D))/2*a
t1=(-3-sqrt(121))/8=(-3-11)/8=-14/8 <-1 -не удовлетворяет ОДЗ
t2=(-3+sqrt(121))/8=(-3+11)/8=1
При t=1 cos(x)=1
x=2*pi*k
Подставим значение cos(x)=1 во второе уравнение системы и найдем значение
y 3*cos(x)+cos(y)=2 =>3*1+cos(y)=2 =>cos(y)=-1
y=pi+2*pi*n
x=2*pi*k
y=pi+2*pi*n
