Question

Надо тема смысл интеграллов 1)тело движеться прямолиненйно со скоростью v(t)=(2^2+1)(м/с).найдите путь пройденный телом за первые 5 с 2)скорость тела движущегося прямолинейно задается формулой v(t)=(12t-3t^2)(м/с).найдите путь пройденный телом от начала его движения до остановки. 3)тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(6t+4)(м/с).найдите длину пути пройденного телом за третью секунду.

Answer 1

Скорость - это производная от перемещения. Поэтому, если задана скорость, то путём интегрирования её по времени можно найти путь.

1. v(t) = t² + 1
Чтобы найти путь за первые 5 сек, надо найти определённый интеграл от 0 до 5 по времени:
$S(t)= \int\limits^5_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^5_0 {(t^2+1)} \, dt = \\ \\ =( \frac{1}{3}t^3+t)|_0^5= (\frac{1}{3}*5^3+5) - (\frac{1}{3}*0^3+0)= \frac{125}{3} +5= \frac{140}{3}$

2. v(t) = 12t - 3t²
Здесь аналогично, только надо найти пределы интегрирования. Понятно, что движение начинается с нулевой секунды. А вот момент остановки надо определить. Тело остановится, когда его скорость станет равна нулю:
v(t) = 12t - 3t² = 0;  3t (4 - t) = 0;  t = 0  и  t = 4
Отсюда вида, что тело остановится при t = 4. Нулевое значение не подходит по физическому смыслу.
Итак, интегрируем от 0 до 4:
$S(t) = \int\limits^4_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^4_0 {(12t - 3t^2)} \, dt =(6t^2-t^3)|_0^4= \\ \\ (6*4^2-4^3 ) - (6*0^2-0^3 )=96-64=32$

3. v(t) = 6t + 4
Аналогично, только опять надо найти пределы интегрирования. Ищем путь за третью секунду, это значит от 2 до 3:
$S(t) =\int\limits^3_2 {v(t)} \, dt = \int\limits^3_2 {(6t + 4)} \, dt = ( 3t^2+4t)|_2^3 = \\ \\ ( 3*3^2+4*3) - (3*2^2+4*2 )=39 - 20 = 19$

Везде результат в метрах, т.к. скорость была в м/с, а время в с.