Сначала ОДЗ Система из 4 выражений: {x^2 - 4x + 5 > 0; {D < 0; x ∈R x^2 - 4x + 5 ≠1; x^2 - 4 x + 4 ≠ 0; x ≠ 2; 3x^2 + 4x + 1 >0; 3(x+1)(x+1/3) > 0; x < - 1 U x > - 1/3; 4x^2 + 1 >0; x∈R; После пересечения всех условий получаем ОДЗ х ∈ (- ∞; - 1) U (- 1/3; 2) U(2; + ∞) Теперь само решение. После того, как квадрат степени в основании логарифма вынесем вперед как 1/2 и сократим его с 2, стоящей перед логарифмов, выражение приведется к такому виду: log(x^2- 4x +5) _(4x^2 +1) ≤ log(x^2 - 4x+5)_(3x^2 + 4x + 1). Видно, что в основании одно и то же выражение слева и справа.
Воспользуемся условием равносильности знаков. loga_b ≤ loga_c; ⇔ (a -1) *(b - c) ≤ 0 при a>0; a≠1; b>0; c>0.
(x^2 - 4 x + 5 - 1) *(4x^2 + 1 - 3x^2 - 4x - 1) ≤ 0; (x^2 - 4x + 4) *(x^2 - 4x) ≤ 0; (x-2)^2 * x * (x-4) ≤ 0; Получили 3 корня,х = 2; х = 0; x = 4. Hо х = 2 - это корень четной степени, и при переходе через него знак неравенства не меняется. Используем метод интервалов. + -- четн -- + [0][2][4] x
Видно, что неравенство выполняется при х∈ [0; 4]. Теперь пересекаем с ОДЗ и получаем ответ х ∈[0; 2) U (2; 4]
Уравнение окружности в общем виде: ( х - а)^2 + (у - в)^2 = R^2, где (а,в) координа ты центра окружности. Если центр окружности лежит на биссектрисе, значит координаты у = х; обозначим эту величину за t. Точка (1; 8) принадлежит окружности, значит: (1-t)^2 + (8-t)^2 = 5^2; 1 - 2t + t^2 + 64 - 16t + t^2 = 25; 2t^2 - 18t + 40 = 0; t^2 - 9t + 20 = 0; t = 4 или t = 5, поэтому уравнений, удовлетворяющих данному условию два: (х - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2 или (х -4)^2 + (y - 4)^2 = 5^2
(x-x₀)²+(y-y₀)²=R² - уравнение окружности в общем виде (x₀;y₀) - координаты центра окружности R - радиус окружности По условию задачи, центр окружности лежит на биссектрисе первой координатной четверти, следовательно, x₀>0, y₀>0 и x₀=y₀ Тогда, подставив координаты точки, через которую проходит окружность, значение для радиуса окружности, а также, учитывая, что х₀=у₀, получим следующее уравнение: (1-x₀)²+(8-x₀)²=5² 1-2x₀+x₀²+64-16x₀+x₀²=25 2x₀²-18x₀+40=0 |:2 x₀²-9x₀+20=0 Применим теорему Виета: {x₀₁*x₀₂=20 {x₀₁+x₀₂=9 => x₀₁=4; x₀₂=5 х₀=у₀ => y₀₁=4; y₀₂=5 (4;4), (5;5) - центры искомых окружностей
Подставляем найденные координаты в общее уравнение окружности:
(х-4)²+(у-4)²=25 и (х-5)²+(у-5)²=25 - искомые уравнения окружностей
![\[\left\{\begin{aligned}&(x^2-4x+5)^20 \\&(x^2-4x+5)^2 \neq 1 \\&4x^2+10 \\&3x^2+4x+10 \\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow\[\left\{\begin{aligned}&x^2-4x+5 \neq 0 \\&x^2-4x+5 \neq 1;x^2-4x+5 \neq -1 \\&x \in R \\&D_1=1;x_1=-1;x_2=- \frac{1}{3} \\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow](/tpl/images/0377/3351/3ce2a.png)
Функция вида
возрастающая , тогда
![x^{2} -4x \leq 0;x \in[0;2) \cup(2;4]](/tpl/images/0377/3351/9bd4e.png)
![[0;2) \cup(2;4]](/tpl/images/0377/3351/07a5c.png)
Система из 4 выражений:
{x^2 - 4x + 5 > 0; {D < 0; x ∈R
x^2 - 4x + 5 ≠1; x^2 - 4 x + 4 ≠ 0; x ≠ 2;
3x^2 + 4x + 1 >0; 3(x+1)(x+1/3) > 0; x < - 1 U x > - 1/3;
4x^2 + 1 >0; x∈R;
После пересечения всех условий получаем ОДЗ х ∈ (- ∞; - 1) U (- 1/3; 2) U(2; + ∞)
Теперь само решение.
После того, как квадрат степени в основании логарифма вынесем вперед как 1/2 и сократим его с 2, стоящей перед логарифмов, выражение приведется к такому виду:
log(x^2- 4x +5) _(4x^2 +1) ≤ log(x^2 - 4x+5)_(3x^2 + 4x + 1).
Видно, что в основании одно и то же выражение слева и справа.
Воспользуемся условием равносильности знаков.
loga_b ≤ loga_c; ⇔ (a -1) *(b - c) ≤ 0 при a>0; a≠1; b>0; c>0.
(x^2 - 4 x + 5 - 1) *(4x^2 + 1 - 3x^2 - 4x - 1) ≤ 0;
(x^2 - 4x + 4) *(x^2 - 4x) ≤ 0;
(x-2)^2 * x * (x-4) ≤ 0;
Получили 3 корня,х = 2; х = 0; x = 4. Hо х = 2 - это корень четной степени, и при переходе через него знак неравенства не меняется. Используем метод интервалов.
+ -- четн -- +
[0][2][4] x
Видно, что неравенство выполняется при х∈ [0; 4].
Теперь пересекаем с ОДЗ и получаем ответ
х ∈[0; 2) U (2; 4]