Question

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. решить y```-13y``+12y`=0 y(0)=0,y`(0)=1,y``(0)=133

Answer 1

$y'''-13y''+12y'=0$
$(e^{\lambda x})'''-13(e^{\lambda x})''+12(e^{\lambda x})'=0$
$\lambda^3e^{\lambda x}-13\lambda^2e^{\lambda x}+12\lambda e^{\lambda x}=0$
$(\lambda^3 -13\lambda^2+12\lambda)e^{\lambda x}=0$
$\lambda^3-13\lambda^2+12\lambda=0$
$\lambda(\lambda -12)(\lambda-1)=0$
$\lambda_1=0\hspace*{25}\lambda_2=12\hspace*{25}\lambda_3=1$
$y_1=C_1\hspace*{25}y_2=C_2e^x\hspace*{25}y_3=C_3e^{12x}$
Общее решение:
$y=y_1+y_2+y_3=C_1+C_2e^x+C_3e^{12x}$
Найдем производную общего решения:
$y'=(C_1+C_2e^x+C_3e^{12x})'=C_2e^x+12C_3e^{12x}$
Найдем вторую производную:
$y''=(C_1+C_2e^x+C_3e^{12x})'=C_2e^x+144C_3e^{12x}$
Согласно первому условию:
$y=C_1+C_2e^0+C_3e^{12*0}=C_1+C_2+C_3=0$
Согласно второму условию:
$y'=C_2e^0+12C_3e^{12*0}=C_2+12C_3=1$
Согласно третьему условию:
$y''=C_2e^0+144C_3e^{12*0}=C_2+144C_3=133$
Составим систему:
$\begin{equation*} \begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \\ C_2+12C_3=1, \\ C_2+144C_3=133 \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \\ C_2+12C_3=1, \\ 132C_3=132. \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \\ C_2+12C_3=1, \\ C_3=1. \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} C_1+C_2+C_3=0, \\ C_2=-11, \\ C_3=1. \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} C_1+C_3=11, \\ C_2=-11, \\ C_3=1. \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} C_1=10, \\ C_2=-11, \\ C_3=1. \end{cases} \end{equation*}$

Получим частное решение:
$y=e^{12x}-11e^{x}+10$