Question

Найдите точку минимума функции y=x*корень из x -6x +22

Answer 1

Точка минимума x = 16.

Объяснение:

Дана функция

$\displaystyle y=x*\sqrt{x} -6*x+22$ или $\displaystyle y=x^{\frac{3}{2} }-6*x+22$

Так как в состав функции входит корень от x, то область определения функции x≥0 или x∈[0; +∞).

Находим производную функции:

$\displaystyle y'=(x^{\frac{3}{2} }-6*x+22)'=(x^{\frac{3}{2}})'-6*(x)'+(22)'=\\\\=\frac{3}{2}}*x^{\frac{3}{2}-1}-6+0=\frac{3}{2}}*x^{\frac{1}{2}}-6$

Приравниваем производную функции к нулю и находим критические точки:

$\displaystyle \frac{3}{2}}*x^{\frac{1}{2}}-6=0$ ⇔ $\displaystyle x^{\frac{1}{2}}=4$ ⇔ x = 16.

Проверим знаки производной на интервалах (0; 16) и (16; +∞):

при x∈(0; 16): y'<0

при x∈(16; +∞): y'>0.

Отсюда, так как на интервале (0; 16) функция убывает и на интервале (16; +∞) функция возрастает, то x = 16 точка минимума.