Question

1при каких значениях параметра p уравнение х^2 - (p+3)x +16=0 имеет хотя бы один корень? 2 док-те, что a/b^2+b/a^2> = 1/a+1/b, если ab неравно 0, a+b> =0

Answer 1

Х^2 - (p+3)X +16=0
(p+3)^2-4*1*16>=0
(p+3)^2-8^2>=0
(p-5)(p+11)>=0
ответ при р є (-беск;-11] U [5;+беск)

a/b^2+b/a^2 - (1/a+1/b)=
(a^3+b^3)/(b^2*a^2) - (1/a+1/b)=
(a+b)/(b*a)*((a^2-ab+b^2)/(b*a)-1)=
(a+b)/(b*a)*(a^2-2ab+b^2)/(b*a)=
(a+b)*(a-b)^2/(b*a)^2 >=0  при  b*a не равно 0 и a+b>=0
доказано

Answer 2

1)x²-(p+3)x+16=0
D=(p+3)²-64=(p+3-8)(p+3+8)=(p-5)(p+11)≥0
p-5=0⇒p=5
p+11=0⇒p=-11
p∈(-∞;-11] U [5;∞)
2)(a/b²+b/a²)-(1/a+1/b)≥0
(a³+b³)/a²b² -(b+a)/ab)≥0
[(a+b)(a²-ab+b²)-ab(b+a)]/a²b²≥0
(a=b)(a²-ab+b²-ab)/a²b²≥0
(a+b)(a-b)²/a²b²≥0
(a-b)²≥0 при любом a и b
(ab)²>0 при ab≠0
a+b≥0