Question

Sin^2 x - cos^2 x =cos (x/2) если запись не совсем понятна: синус квадрат - косинус квадрат = косинус половинного аргумента

Answer 1

$\sin^2x-\cos^2x=\cos \frac{x}{2} \\ -\cos2x=\cos\frac{x}{2} \\ \cos^22x=\cos^2\frac{x}{2} \\ (2\cos^2x-1)^2= \frac{1+\cos x}{2} \\ 4\cos^4x-4\cos^2x+1= \frac{1+\cos x}{2} \\ 8\cos^4x-8\cos^2x+2=1+\cos x\\ 8\cos^4x-8\cos^2x-\cos x+1=0 \\ 8\cos^2x(\cos^2x-1)-(\cos x-1)=0\\(\cos x-1)(8\cos^3x+8\cos^2x-1)=0 \\ \cos x=1 \\ x=2\pi n,n \in Z$

$8\cos^3x+8\cos^2x-1=0 \\ 8\cos^3x+4\cos^2x+4\cos^2x+2\cosx-2\cos x-1=0 \\ 4\cos^2x(2\cos x+1)+2\cos x(2\cos x+1)-(2\cos x+1)=0 \\ (2\cos x+1)(4\cos^2x+2\cos x-1)=0 \\ \cos x=-0.5 \\ x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,n \in Z$

$4\cos^2x+2\cos x-1=0$
Пусть cos x = t (|t|≤1), тогда получаем
$4t^2+2t-1=0 \\ D=b^2-4ac=4+16=20; \\ t_1= \frac{-1+ \sqrt{5} }{4}$
$t_2= \frac{-1- \sqrt{5} }{4}$ - не удовлетворяет условие при |t|≤1

Обратная замена
$\cos x= \frac{-1+ \sqrt{5} }{4} \\ x=\pm\arccos\frac{-1+ \sqrt{5} }{4}+2 \pi n,n \in Z$