вы составляете двойное неравенство и находите k:
-2pi <= pi/3 + 2pik/3 <= pi
-2pi - pi/3 <= 2pik/3 <= pi - pi/3
-7pi/3 <= 2pik/3 <= 2pi/3
-3.5 <= k <= 1
т.е. k = -3, -2, -1, 0, 1
Подставляете k в x = pi/3 + 2pik/3
k=-3: x = pi/3 - 2pi = -5pi/3
k=-2: x = pi/3 -4pi/3 = -pi
k=-1: x = pi/3 -2pi/3 = -pi/3
k=0: x = pi/3
k=1: x = pi/3 + 2pi/3 = pi
То же самое и для 2ого корня x = pi/9 + 2pik/3
-2pi <= pi/9 + 2pik/3 <= pi
-2pi - pi/9 <= 2pik/3 <= pi - pi/9
-19pi/9 <= 2pik/3 <= 8pi/9
-19/6 <= k <= 4/3
-3.167 <= k <= 1,333
k = -3, -2, -1, 0, 1
x = pi/9 + 2pik/3
k=-3: x = pi/9 - 2pi = -17pi/9
k=-2: x = pi/9 -4pi/3 = -11pi/9
k=-1: x = pi/9 -2pi/3 = -5pi/9
k=0: x = pi/9
k=1: x = pi/9 + 2pi/3 = 7pi/9
Здесь самый красивый метод не подстановки, а замена переменной. Пусть x + y = a, xy = b.
Выразим сумму квадратов в первом уравнении через a и b. Это можно сделать, если возвести в квадрат x + y.
(x + y)² = x² + 2xy + y²
a² = x² + 2b + y², откуда
x² + y² = a² - 2b. Теперь с учётом замены:
a² - 2b = 44 a² = 44 + 2b = 44 + 2 * 4 = 52 a = √52 или a = -√52
b = 4 b = 4 b = 4 b = 4
Теперь возвращаемся к старым переменным и получаем ещё две системы в подарок:
x + y = √52 и x + y = -√52
xy = 4 xy = 4
Решаем первую систему:
y = √52 - x
x(√52 - x) = 4 (1)
(1)x√52 - x² = 4
x² - √52x + 4 = 0
D = b² - 4ac = 52 - 16 = 36
x1 = (√52 - 6) / 2;
x2 = (√52 + 6) / 2
Получаем два варианта:
x = (√52 - 6) / 2 x = (√52 + 6) / 2
y = √52 - (√52-6) / 2 = (√52 + 6) / 2 y = (√52 - 6) / 2
Решая вторую систему, получим, что:
y = -√52 - x
x(-√52 - x) = 4 (2)
(2) -√52x - x² = 4
x² + √52x + 4 = 0
D = 52 - 16 = 36
x1 = (-√52 - 6) / 2;
x2 = (-√52 + 6) / 2
Тогда выходят такие варианты:
x = (-√52 - 6) / 2 x = (-√52 + 6) / 2
y = (6 - √52) / 2 y = (-√52 - 6) / 2
Таким образом, решениями данной системы являются целых 4 пары чисел
((√52 - 6) / 2; (√52 + 6) / 2); ((√52 + 6) / 2;(√52 - 6) / 2); ((-√52 - 6) / 2;(6 - √52) / 2);
((-√52 + 6) / 2;(-√52 - 6) / 2)
Решения не очень хорошие, но они верные, подставлял . Кстати, подставлять для проверки нужно обязательно в ОБА уравнения, поскольку это не совокупность уравнений, а их система, то есть их одновременное выполнение.
