Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=e^(2x)-11e^x+26 на отрезке [-1; 2]

Answer 1

Ну, во-первых, производная, конечно-же.
Она проста и выглядит следующим образом:
$f'(x)=2e^{2x}-11e^{x} = e^{x} (2e^{x}-11)$
Приравниваем это дело к нулю.
Выходит, либо $e^{x}=0$, что невозможно, либо
$e^{x}= \frac{11}{2}$
Второй вариант подходит. В данном случае можно разобрать три варианта (экстремум и две границы -1 и 2), в формате ЕГЭ, причем, последние два варианта не подойдут, но мы все-же рассмотрим все.
Первое, когда f(-1).
$f(-1)=e^{-2}-11e^{-1}+26=e^{-1}(e^{-1}-11)+26$
Когда f(2):
$f(2)=e^{4}-11e^{2}+26=e^{2}(e^{2}-11)+26$
Когда e^x=11/2:$\frac{121}{4} - \frac{121}{2} +26= -4,25$
Первые два случая явно оба больше нуля, поскольку e^(-1) и e^(2) меньше, чем 11, а помноженные на e^2 и e^(-1) результаты меньше -26 => они больше нуля.
В итоге получаем ответ: -4,25.