Доведіть що 5n+2*3n-3 ділиться на 8 при будь якому натуральному n

Question

Алгебра: Доведіть що 5n+2*3n-3 ділиться на 8 при будь якому натуральному n

Lososepotam · Accepted Answer

Довольно интересная задача. Можно решить, так сказать, в лоб, а можно подумать.
В лоб - это выражаем отдельно a и b.
a = 4 - b

или

подставляем это во второе выражение и получаем обычное квадратное ур-ие.
$(4 - b)b = 3.75 \\ 4b - b^2 = 3.75 \\ b^2 - 4b + 3.75 = 0$
Решаем, получаем b, с a будет аналогично.
Но это не интересно.
Давайте разложим сумму кубов по ФСУ
a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 -ab + b^2)

Смотрим внимательно и видим, или вспоминаем, что вторая скобка это неполный квадрат разницы, но через квадрат суммы также можно выразить. т.е. (a+b)^2 - 3ab

Давайте перепишем в таком виде
a^3 + b^3 = (a+b)((a+b)^2 - 3*ab)

Как мы видим, все исходные данные у нас есть, осталось подставить.
4*(4^2 - 3*3.75) = 4*(16 - 3*3.75) = 4*4,75 = 19

Согласитесь, куда приятнее, чем решать квадратные ур-ия.

MOGZ ответил