Question

Найдите сумму целых решений неравенства (|x^2-x-6|) / (x^2-x-6)> (|9x-x^2-14|) / (x^2-9x+14) сайта

Answer 1

$\frac{|x^2-x-6|}{x^2-x-6} \ \textgreater \ \frac{|9x-x^2-14|}{x^2-9x+14}\\ \left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{x^2-x-6 \geq 0} \atop { 1\ \textgreater \ \frac{|9x-x^2-14|}{x^2-9x+14} }} \right. \\ \left \{ {{x^2-x-6\ \textless \ 0} \atop {-1\ \textgreater \ \frac{|9x-x^2-14|}{x^2-9x+14} }} \right. \end{array}\right$
***********************************
$x^2-x-6 \geq 0 \\ (x+2)(x-3) \geq 0 \\ x \in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$
Случай 1.
Если $9x-x^2-14 \geq 0$, то получаем
$1\ \textgreater \ \frac{9x-x^2-14}{x^2-9x+14} \\ 1\ \textgreater \ - \frac{x^2-9x+14}{x^2-9x+14}\\ 1\ \textgreater \ -1$
***************************************
$9x-x^2-14 \geq 0|\cdot (-1) \\ x^2-9x+14 \leq 0 \\ (x-2)(x-7) \leq 0 \\ x \in [2;7]$
********************************

Случай 2. 
Если $9x-x^2-14\ \textless \ 0\to x^2-9x+14\ \textgreater \ 0\to x\in (-\infty;2)\cup(7;+\infty)$
$1\ \textgreater \ \frac{-9x+x^2+14}{x^2-9x+14}\\ 1\ \textgreater \ 1$
Нет решений

Решений этой неравенства есть $x \in (3;7)$

Случай 3. (если $x^2-x-6\ \textless \ 0\,\,\, (x \in (-2;3))$)

(1) $9x-x^2-14 \geq 0 \\ \\ \frac{-(x^2-x-6)}{(x^2-x-6)} \ \textgreater \ \frac{9x-x^2-14}{x^2-9x+14}\\ -1\ \textgreater \ -1$
Нет решений

Если $9x-x^2-14\ \textless \ 0$

$\frac{-(x^2-x-6)}{x^2-x-6} \ \textgreater \ \frac{x^2-9x+14}{x^2-9x+14}\\ -1\ \textgreater \ 1$
Нет решений

Решение неравенства $x \in (3;7)$

Сумма 4+5+6=15

ответ: 15.