Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр четырехугольника ACMN, если диагональ BD равна 8 см
–––––––––––––––
Казалось бы очевидно- стороны четырехугольника ACMN равны между собой и равны диагоналям прямоугольника. Тем не менее это нужно доказать.
МС║ВD по построению.
АВ║ СD - стороны прямоугольника, след, ВМ║СD
Противоположные стороны четырехугольника МВСД лежат на параллельных прямых. ⇒
МВДС - параллелограмм.⇒
ВМ=СD. Но СD=АВ ⇒ ВМ=АВ.
СN ⊥ АМ и делит ее пополам. СВ - высота и медиана ∆ АСМ,⇒
∆ АСМ равнобедренный, и СВ его биссектриса.
В ∆ АМN отрезок NB – медиана и высота ⇒
∆ МАN равнобедренный, и BN- его биссектриса.
AN= MN, a MN=MC=AC
∠АМN =∠MАС как накрестлежащие при параллельных МN и АC и секущей АМ.
Но углы равнобедренного ∆ САМ при АМ равны.⇒∠ АМN=∠СМА=∠САМ ,
МВ ⊥ СN⇒ является высотой ∆ NMC и оо равенству углов при М - биссектрисой. ⇒
NMC - равнобедренный, и NM=MC, отсюда следует равенство AN=MN=MC=АС
Четырехугольник АСМN- ромб.
АС- диагональ прямоугольника ABCD и по условию равна 8
Периметр АСМN=8*4=32
Произведение
f(x)=x(26-x)=26x-x²
Находим прозводную
f`(x)=26-2x
f`(x)=0
26-2x=0
2x=26
x=13
При переходе через точку х=13 производная меняет знак с + на -, значит х=13 - точка максимума
Одно число 13 и второе число 13, тогда их произведение будет наибольшим