Question

Решите показательное неравенство 2^(2x+1)+(1/2)^(2x+1)-5/2> 0

Answer 1

$2^{2x+1} +( \frac{1}{2})^{2x+1}- \frac{5}{2} \ \textgreater \ 0$

Замена переменных $y = 2^{2x+1}$ где у > 0 для всех x∈ R
$y + \frac{1}{y} - \frac{5}{2}\ \textgreater \ 0$
Так как у>0 то умножим обе части неравенства на 2у
2у² + 2 - 5у >0
Получили квадратное неравенство
2у² - 5у +2 > 0
Решаем по методу интервалов. Разложим квадратный трехчлен на множители решив уравнение
2у² - 5у +2 = 0
D =5² -4*2*2 =25-16 =9
у1 =(5-3)/4 =1/2; у2 =(5+3)/4 =2
Поэтому можно записать
2у² - 5у +2 =  2(у-1/2)(у-2)
Запишем снова неравество
2(у-1/2)(у-2) > 0
На числовой прямой отразим знаки левой части неравенства полученные по методу подстановки.
Например при у=0  у-1/2 =-1/2 < 0,  y-2=0-2=-2<0, следовательно
(у-1/2)(у-2)>0
..........+..........0.......-.........0...........+
------------------!---------------!-----------------   
.....................1/2................2
Следовательно неравенство истинно для всех значений
 у∈(-∞;1/2)U(2;+∞)
Найдем значения х из совокупности неравенств
Г$2^{2x+1}\ \textless \ \frac{1}{2}}$;
L $2^{2x+1}\ \textgreater \ 2$

Г$2^{2x+1}\ \textless \ 2^{-1}$;
L$2^{2x+1}\ \textgreater \ 2$

Г 2x+1 < -1;
L 2x + 1 > 1

Г x  < -1;
L x  > 0    
       

Следовательно исходное неравенство истинно для всех значений
 x∈(-∞;-1)U(0;+∞)

ответ: (-∞;-1)U(0;+∞)