Question

Найти общее решение уравнения y''+y'-2y=-4+e^x

Answer 1

Ладно попробуем попробуем повыделываться.
$y^{''}+y^{'}-2y=-4+e^x$
Перед нами линейное дифференциальное уравнение 2го порядка, с постоянными коэффициентами, к тому же неоднородное.
Общее решение неоднородного уравнения находится в виде суммы общего решения однородного уравнения (правую часть заменить на 0), и какого нибудь ненулевого частного решения неоднородного уравнения.
Приступим. Отработаем однородное уравнение
$y^{''}+y^{'}-2y=0$(2)
Cоответствующее характеристическое уравнение:
$\lambda ^2+ \lambda-2=0$(3)
(3) Обычное квадратное уравнение. Его корни:
$\lambda_{1}= \frac{-1+ \sqrt{D} }{2}$
$\lambda_{2}= \frac{-1- \sqrt{D} }{2}$
где D - дискриминант уравнения (3)
D=1-4*1*(-2)=1+8=9  Хороший дискриминант, корень нацело извлекается и
корни получаются действительные. Ладно продолжаем
$\ \lambda_{1}= \frac{-1+ \sqrt{9} }{2}= \frac{2}{2} =1$(4)
$[tex] \lambda_{2}= \frac{-1-\sqrt{3} }{2}= \frac{-4}{2}=-2$(5)
Общее решение однородного уравнения (2) получается в виде:
$y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$(6)
Где $C_{1}$ и $C_{2}$произвольные константы (постоянные).
 С учетом (4), (5) общее решение (6) выглядит так:
$y(x)=C_{1}e^x+C_{2}e^{-2x}$(7)
Так, есть общее решение однородного уравнения. Теперь надо найти частное решение неоднородного.
 Частное решение ищем в таком виде:
$y_{c}(x)=A+Bxe^x$(8)
Где A и B некоторые коэффициенты, значения которых нам надо подобрать.
Подбирать будем так: Найдем 1-ю и 2-ю производные (8) и подставим их и (8) в уравнение (1) вместо $y^{'}$, $y^{''}$ и y.
1-я производная частного решения:
$y_{c}^{'}=(A+Bxe^x)^{'}=B(xe^x)^{'}=B(e^x+xe^x)=Be^x+Bxe^x$(9)
2-я производная:
$y_{c}^{''}=(Be^x+Bxe^x)^{'}=Be^x+Be^x+Bxe^x=2Be^x+Bxe^x$(10)
Ну вот, подставляем (8), (9), (10) в уравнение (1):
$(2Be^x+Bxe^x)+(Be^x+Bxe^x)-2(A+Bxe^x)=-4+e^x$
Раскрываем скобки и перегруппировываем слагаемые в левой части:
$(2Be^x+Bxe^x)+(Be^x+Bxe^x)-2(A+Bxe^x)=$
$=3Be^x+2Bxe^x-2A-2Bxe^x=3Be^x-2A$
Таким образом получили такое соотношение для определения "неопределенных коэффициентов" A и B:
$3Bxe^x-2A=-4+e^x$(11)
Приравниваем коэффициенты в правой и левой частях (11) при одинаковых степенях е. получаем :
$\left \{ {{-2A=-4} \atop {3B=1}} \right.$
фактически простая система обычных линейных уравнений, решив которую, получаем:$\left \{ {{A=2} \atop {B= \frac{1}{3} }} \right.$  (12)
Теперь, с учетом (12), частное решение (8) примет вид:
$y_{c}=2+ \frac{1}{3}x e^x$(13)
Ну вот, объеденяя (7) и (13), получаем общее решение уравнения (1):
$y(x)=C_{1}e^x+C_{2}e^{-2x}+2+ \frac{1}{3}x e^x$(14)

Фуу! Кажется все! Проверку, выполнять пока не буду Надо чайку хлебнуть. Неленивый может сам подставить (14) в (1) и проверить получится ли равенство. :)