Question

Докажите тождество: ctg(a) / tg(a)+ctg(a)=cos^2

Answer 1

Напомню, что $tg \alpha = \frac{\sin{ \alpha }}{\cos{ \alpha }}; \ \ ctg \alpha = \frac{\cos{ \alpha }}{\sin{ \alpha }}; \ \ \ \ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

$\frac{ctg \alpha }{tg \alpha + ctg \alpha }=\frac{\frac{\cos{ \alpha }}{\sin{ \alpha }}}{\frac{\sin{ \alpha }}{\cos{ \alpha }}+\frac{\cos{ \alpha }}{\sin{ \alpha }}}=\frac{\frac{\cos{ \alpha }}{\sin{ \alpha }}}{\frac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\cos{\alpha}\cdot\sin{\alpha}}}=\frac{\frac{\cos{ \alpha }}{\sin{ \alpha }}}{\frac{1}{\cos{\alpha}\cdot\sin{\alpha}}}=\frac{\cos{\alpha}\cdot \cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\cos^2}\alpha}$

Answer 2

$\frac{ctga}{tga+ctga}=cos^2a \\ \\ \frac{ \frac{cosa}{sina} }{ \frac{sina}{cosa}+ \frac{cosa}{sina} } =cos^2a \\ \\ \frac{ \frac{cosa}{sina}}{ \frac{sin^2a+cos^2a}{cosasina} } =cos^2a \\ \\ \frac{ \frac{cosa}{sina}}{ \frac{1}{cosasina} } =cos^2a \\ \\ \frac{cosa}{sina}: \frac{1}{cosasina} =cos^2a \\ \\ \frac{cosa*cosasina}{~sina~*~1~~~~~~~~}=cos^2a \\ \\ cos^2a=cos^2a$
Что и требовалось доказать.