Question

Варифметической прогрессии девятый член больше 4 члена на 10 и больше 3 члена в 5 раз найдите сумму всех членов этой прогрессии начиная с 200 члена и заканчивая 300

Answer 1

Арифметическая прогрессия это последовательность вида
a1, a2=a1+d, a3=a2+d, ........,an=an-1+d.
Чтобы задать прогрессию, нужно определить ее первый член a1  и разность d. Все остальные члены последовательности можно вычислить, зная две эти величины. В частности n-й член последовательности выражается так:
$a_{n}=a_{1}+(n-1)*d$

Тогда 3-й
$a_{3}=a_{1}+(3-1)*d=a_{1}+2*d$  (2)

4-й
$a_{4}=a_{1}+(4-1)*d=a_{1}+3*d$  (3)

9-й
$a_{9}=a_{1}+(9-1)*d=a_{1}+8*d$  (4)

Согласно первому условию:
$a_{9}=a_{4}+10$  (5)

Согласно 2-му условию:
$a_{9}=5*a_{3}$(6)
 Подставляем в (5) и (6) выражения для$a_{3}, a_{4}, a_{9}$ из (2), (3),  (4). получим систему линейных уравнений с двумя неизвестными a1 и d.

$a_{1}+8*d=a_{1}+3*d+10$  (7)
$a_{1}+8*d=5(a_{1}+2*d)$  (8)
 
Из (7) сразу получим d
$5*d=10$ ⇒ $d=10/5=2$ (9)
Из (8) и (9) выразим a1:
$a_{1}-5a_{1}=10*d-8*d$
$-4a_{1}=2*d$
$a_{1}=-2*d/4=-2*2/4=-1$
 Есть. Теперь Сумма.
Сумма n членов арифметической прогрессии, начиная с 1-го, определяется по формуле
$S_{n}= \frac{n}{2}*(2a_{1}+(n-1)*d)$ (12)
Сумма членов, начиная с 200-го номера по 300-й включительно будет определяться выражением:
$S_{200-300} = S_{300}-S_{199}=\frac{300}{2}*(-2+(299)*2)-\frac{199}{2}*(-2+(198)*2)$=$=300*(-1+299)-199*(-1+198)=300*298-199*197=50197$