Question

Тригонометрические уравнения 1) 2 cos²x - 5cosx + 2 = 0 2) 4sin²x + 4cosx - 1 = 0 3) sin3x + √3 cos3x = 0 4) √3 sinx + cosx = √2 5) решите уравнение 5cos²x - sinx cosx = 2 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (-п; п/2)

Answer 1

1) 2cos^2 x - 5cos x + 2 = 0
Замена cos x = y, получаем обычное квадратное уравнение.
2y^2 - 5y + 2 = 0
(y - 2)(2y - 1) = 0
y1 = cos x = 2; решений нет, так так -1 <= cos x <= 1
y2 = cos x = 1/2; x = +-pi/3 + 2pi*k

2) 4sin^2 x + 4cos x - 1 = 0
4 - 4cos^2 x + 4cos x - 1 = 0
4cos^2 x - 4cos x - 3 = 0
Замена cos x = y. Тоже обычное квадратное уравнение. Дорешай сам.

3) sin 3x + √3*cos 3x = 0
sin 3x = -√3*cos 3x
tg 3x = -√3
3x = -pi/3 + pi*k
x = -pi/9 + pi/3*k

4) √3*sin x + cos x = √2
Перейдем к половинным углам
√3*2sin(x/2)*cos(x/2) + cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = √2*cos^2(x/2) + √2*sin^2(x/2)
sin^2(x/2)*(√2 + 1) - 2√3*sin(x/2)*cos(x/2) + cos^2(x/2)*(√2 - 1) = 0
Делим все на cos^2(x/2)
tg^2(x/2)*(√2 + 1) - 2√3*tg(x/2) + (√2 - 1) = 0
Замена tg(x/2) = y. Получаем квадратное уравнение.
D/4 = (√3)^2 - (√2 + 1)(√2 - 1) = 3 - (2 - 1) = 2
y1 = tg(x/2) = (√3 - √2)/(√2 + 1)
x1 = 2arctg[ (√3 - √2)/(√2 + 1) ] + pi*k
y2 = tg(x/2) =  (√3 + √2)/(√2 + 1)
x2 = 2arctg[ (√3 - √2)/(√2 + 1) ] + pi*n

5) 5cos^2 x - sin x*cos x = 2
5cos^2 x - sin x*cos x = 2sin^2 x + 2cos^2 x
2sin^2 x + sin x*cos x - 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
2tg^2 x + tg x - 3 = 0
Замена tg x = y. Получаем квадратное уравнение.
D = 1 + 4*2*3 = 1 + 24 = 25 = 5^2
y1 = tg x = (-1 - 5)/4 = -6/4 = -1,5
x1 = -arctg(1,5) + pi*k ~ -0,983 + 3,1416*k
y2 = tg x = (-1 + 5)/4 = 4/4 = 1
x2 = pi/4 + pi*n ~ 0,785 + 3,1416*n
Интервалу (-pi; pi/2) ~ (-3,1416; 1,5708) принадлежат корни:
x1 =  -arctg(1,5) ~ -0,983
x2 = pi/4 - pi = -3pi/4 ~ -2,356
x3 = pi/4 ~ 0,785