Question

Докажите, что если a=1/(1-sin( а b=1/(1+sin( то 4*(а)^2*(b)^2-2*a*b=a^2+b^2

Answer 1

Ох уж эти синусы. Можно я так смотрю sin(a) обозначить u, чтобы меньше таскать и проверить в лоб.

$sin( \alpha) =u$  (1)
Тогда:
$A= \frac{1}{1-u}$
$B= \frac{1}{1+u}$
Соответственно Правая часть A²+B²
$A^2+B^2=\frac{1}{(1-u)^2} + \frac{1}{(1+u)^2} =\frac{(1+u)^2+(1-u)^2}{((1-u)(1+u))^2} =$
$\frac{(1+u)^2+(1-u)^2}{((1-u)(1+u))^2} =\frac{1+2u+u^2+1-2u+u^2}{(1-u^2)^2} =\frac{2+2u^2}{(1-u^2)^2}=\frac{2(1+u^2)}{(1-u^2)^2}$  (2)

Левая:
$4A^2B^2-2AB= \frac{4}{(1-u)^2(1+u)^2} - \frac{2}{(1-u)(1+u)} =\frac{4}{(1-u^2)^2} - \frac{2}{(1-u^2)}=$
$=\frac{4-2(1-u^2)}{(1-u^2)^2}=\frac{4-2+2u^2}{(1-u^2)^2}=\frac{2+2u^2}{(1-u^2)^2}=\frac{2(1+u^2)}{(1-u^2)^2}$  (3)
Конечные выражения в (2) и ( 3) одинаковы, значит ЛЕВЫЕ части (2) и (3) равны, что и требовалось доказать