Question

При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8х^2 - 20х +16) / (4х^2 + 10х +7) меньше или равно а. в ответе укажите самое маленькое целое число, принадлежащее множеству решений.

Answer 1

(8x^2-20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a
(8x^2-4ax^2-20x-10ax+16-7a)/(4x^2+10x+7)≤0 (*)
4x^2+10x+7>0 при любом x⇒неравенство (*) равносильно неравенству 8x^2-4ax^2-20x-10ax+16-7a≤0
(8-4a)x^2-(20+10a)x+16-7a≤0 (**)
при a=2 неравенство будет иметь решение x∈[1/20;+∞), что не подходит под условие верности неравенства при всех x
неравенство (**) равносильно системе неравенств $\left \{ {8-4a\ \textless \ 0} \atop {(-(10+5a))^2-(8-4a)(16-7a) \leq 0}} \right. \\ \left \{ {{a\ \textgreater \ 2} \atop {-3a^2+220a-28 \leq 0}} \right. \\ \left \{ {{a\ \textgreater \ 2} \atop { \left \{ {{a \leq 36 \frac{2}{3}- \frac{4 \sqrt{751} }{3} } \atop {a \geq 36 \frac{2}{3}+ \frac{4 \sqrt{751} }{3}}} \right. }} \right. \\ \left \{ {{a\ \textgreater \ 2} \atop {a \geq 36 \frac{2}{3}+ \frac{4 \sqrt{751} }{3}}} \right.$
$a \geq 36 \frac{2}{3}+ \frac{4 \sqrt{751} }{3}$
73<110/3+4√751/3<74⇒наименьшее значение параметра a есть 74