Question

Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения sinx+sin2x+sin3x=1 + cosx+cos2x a) 30 b) 60 c) 90 d) 150 e) 270

Answer 1

$\sin x+\sin2x+\sin3x=1+\cos x+\cos2x\\ \sin x+2\sin x| \sqrt{1-\sin^2x} |+3\sinx-4\sin^3x=1+|\sqrt{1-\sin^2x} |+1-2\sin^2x$
Пусть $\sin x=t$, причем $|t| \leq 1$, тогда получаем
$t+2t| \sqrt{1-t^2} |+3t-4t^3=2+|\sqrt{1-t^2}|-2t^2$
ОДЗ: 1-t²≥0, откуда -1≤t≤1
Пусть $\sqrt{1-t^2}=a$, имеем
$4t+2ta-4t^3=2+a-2t^2\\-2t(2t^2-a-2)+(2t^2-a-2)=0\\ (2t^2-a-2)(-2t+1)=0$
Преобразуем первое уравнение
*********************************************************
$2t^2-a-2=0\\ t^2= \frac{a+2}{2} \\ t=0;\,\,\,\, a=-2$
t=0 - не подходит.

ОДЗ $t= \sqrt{ \frac{a+2}{2} }$ будет a+2≥0, откуда a≥-2, подставив 
$\sqrt{1-t^2}\ \textgreater \ -2\\ \sqrt{1-t^2} +2\ \textgreater \ 0$
Значит решением будет уравнение $1-t^2=0$ откуда $t=\pm1$

*********************************************************
Второе уравнение
-2t+1=0
t=0.5

Возвращаемся к замене
$\sin x=\pm1\\ x=\pm \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ \\ \sin x=0.5\\ x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k,k \in Z$

Находим наименьший положительный корень.
k=0; x=π/6 = 180/6 = 30 градусов

ответ: 30 градусов