Question

Исследуйте функцию на максимум и минимум д) x^3-3x^2-45x+1 на промежутке [0,6] и [-2,2]

Answer 1

$y=x^{3}-3x^{2}-45x+1$
$y'(x)=(x^{3}-3x^{2}-45x+1)'=3x^{2}-6x-45=0$
$x^{2}-2x-15=0, D=4+4*15=64$
$x_{1}= \frac{2-8}{2}=-3$
$x_{2}= \frac{2+8}{2}=5$

При x∈(-3;5) производная отрицательная, значит функция убывает
При x∈(-бесконечность; -3) U (5; +бесконечность) - производная положительная, значит функция возрастает

$x_{1}=-3$ - точка максимума (т.к. при переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус)
$x_{2}=5$ - точка минимума (т.к. при переходе через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс)

На отрезке [0;6]:
x=-3 ∉ [0;6]
x=5 ∈ [0;6] - точка минимума
$y(5)=5^{3}-3*5^{2}-45*5+1=125-75-225+1=-174$ - наименьшее значение функции на отрезке [0;6]
$y(0)=1$ - наибольшее значение функции на отрезке [0;6]
$y(6)=6^{3}-3*36-45*6+1=216-108-270+1=-161$

На отрезке [-2;2]:
x=-3 ∉ [-2;2]
x=5 ∉ [-2;2]
$y(-2)=(-2)^{3}-3*(-2)^{2}+45*2+1=-8-12+90+1=71$ - наибольшее значение на отрезке [-2;2]
$y(2)=2^{3}-3*4-45*2+1=8-12-90+1=-93$ - наименьшее значение на отрезке ∉ [-2;2]