§ 97. Соотношения между элементами косоугольного треугольника.
Начнем с геометрического соотношения между углами треугольника:
А + В + С = 180°.
Заметим некоторые следствия из него.
а) Так как сумма значений А и В + С равна 180°, то синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтому sin (B + C) = sin A; cos (B+C)= — cos A; cos A = — cos {В + С).
Точно так же:
tg ( B+ C ) = — tg A.
б) Так как сумма значений и равна 90°, то сходные функции их соответственно равны (§ 17); например:
sin = cos ; sin = cos и т. д.
в) Полезно запомнить еще следующие соотношения между угламя треугольника:
l) sin A + sin B + sin С = 4 cos • cos • cos
2) tg A + tg B+ tg C = tg A • tg B • tg C;
3) ctg + ctg + ctg = ctg • ctg • ctg .
Вывод этих формул предоставляется учащемуся.
§ 98. Лемма. Во всяким треугольнике сторона равна диаметру описанного круга, умноженному на синус противолежащего угла.
Обозначая радиус описанного круга через R, докажем, например, что а = 2R • sin A, где угол А есть острый или тупой.
Доказательство. 1) Угол А острый (черт. 41). В oписанном круге из конца данной стороны проведем диаметр и соединим другие концы этой стороны и диаметра; получим прямоугольный треугольник. На чертеже 41 таким треугольником будет BDC; из него, на основании § 21, находим: BC = BD • sin D, или a = 2R• sin D; нo / D = / А1); следовательно, a = 2R• sin A. 1) Тот и другой измеряются половиной дуги ВС.
2) Угол А тупой. Сделаем такое же вс построение, как раньше. Из прямоугольного треугольника ВСЕ (черт. 42) найдем: a = 2R• sin E; но Е + А = 180°, следовательно sin E = sin A, поэтому a = 2R• sin A. Итак, вообще:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
§ 99. Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Требуется доказать, что:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Доказательство. По § 98 для всякого треугольника как остроугольного, так и тупоугольного имеем:
a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.
Отсюда находим:
2R = a/sin A ; 2R = b/sin B ; 2R = c/sin C ,
следовательно:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Таким образом, для одного и того же треугольника частное от деления стороны на синус противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного круга.
Из соотношения a/sin A = b/sin B = c/sin C , переставляя члены пропорции, получим:
a : b : c = sin A : sin B : sin С,
т. е. во всяком треугольнике стороны, относятся между собой, как синусы противолежащих углов.
Пример. Определить a : b : c, если А : В : С= 3 : 4 : 5.
Так как А + В + С =180°, то сначала разделим 180° в отношении 3 : 4 : 5; получим А = 45°, B = 60° и С = 75°. Теперь по доказанному будем иметь:
a : b : c = sin 45° : sin 60° : sin 75°.
Подставляя сюда _ _
sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 и sin 75° = cos 30°/2= 1/2
получим, освободясь от знаменателей:
a : b : c = √2 : √3 : .
§ 100. Теорема. Сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу полуразности тех же углов.
Доказательство. По §98 находим:
a + b = 2R {sin A + sin В) и а — b = 2R (sin A — sin В);
отсюда:
Применяя здесь ко второй части формулу (XVII) (§ 65), получим:
( a + b ) : (а — b ) = tg : tg ,
чем и выражается теорема.
§ 101. Формулы Мольвейде. Так называются следующие две пропорции, которые содержат отношения суммы и разности двух сторон треугольника к третьей стороне:
Доказательство. 1) По §98:
a + b = 2R (sin A + sin B) и c = 2R • sin C;
отсюда
Преобразуем вторую часть:
но sin = cos , так как + == 90°. По сокращении же дроби (b) будет окончательно:
2) Таким же образом получим:
§ 102. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними.
Требуется доказать, что а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A (одинаково и в случае острого и в случае тупого;
Доказательство. 1) Если угол А острый, то на основании теоремы геометрии о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем (черт. 43):
а2 = b2 + с2 — 2b • AD,
но из прямоугольного треугольника ABD можно заменить AD через с • cos A; тогда получим:
а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A.
2) Если угол A тупой, то применяем теорему о квадрате стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). Получаем
а2 = b2 + с2 + 2b • AE.
Из треугольника ABC находим:
AE = с • соs α,
но так как
α = / BAE = 180° — А,
то
cos α = cos (180° — А) = — cos A,
поэтому
АЕ = — с • cos A.
Подставляя это выражение в геометрическую формулу, получим:
До того, как выехал 3 велосипедист, первый удалился на 21*2=42км, а второй на 15*1=15км. Пусть скорость 3 велосипедиста хкм/ч (х-15)км/час - скорость приближения 3велосипедиста ко 2 Через 15/(х-15) час 3 велосипедист догонит 2 (х-21)км/час - скорость приближения 3велосипедиста к 1 Через 42/(х-21) час 3 велосипедист догонит 1 Тогда 42/(х-21)-15/(х-15)=9 42х-630-15х+315=9х²-189х-125х+2835 9х²-351х+3150=0 х²-35х+350=0 х1+х2=35 и х1*х2=350 х1=10- не удов усл х2=25км/ч ответ скорость 3 велосипедиста 25км/ч
