Question

Решить в целых чисел уравнение (1/x) + (1/y) + (1/z) = 1

Answer 1

Среди чисел x,y,z обязательно есть хотя бы одно натуральное число, иначе левая часть уравнение имеет отцательное значение.
 Пусть это число х. Рассмотрим отдельные случаи
1. $x=1$, тогда $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} =0\,\, \Rightarrow\,\,\,y=-z=k\in N$

Имеем тройку $(1,k,-k)$ получены с нее с перестановок

2. х=2, тогда $\frac{1}{y} + \frac{1}{z}= \frac{1}{2} \,\, \Rightarrow\,\, \frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{y} ,\,\,\,\Rightarrow\,\,\, \frac{1}{z} = \frac{y-2}{2y}\\ z= \frac{2y}{y-2}\,\,\Rightarrow\,\, 2+ \frac{4}{y-2}$

Поскольку z- целое число, то имеем y-2=1, откуда y=3, тройка $(2,3,6)$
y-2=-1, y=1 тройка (2,1,-2)
y-2=1, y=3, тройка (2,4,4)
y-2=-2, но y≠0
y-2=4, y=6, тройка (2,6,3)
y-2=-4 ⇒ y=-2, тройка (2,-2,1)

3. x≥3, тогда $\frac{1}{y}+ \frac{1}{z} =1- \frac{1}{x } \geq \frac{2}{3}$, поэтому среди чисел y и z есть хотя бы одно натуральное число, пусть это будет у.
При у≥3
$\frac{1}{z} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{y} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$, откуда 1 ≤ z ≤ 3
x=y=z=3 при у≥3 и x≥3

ответ: (1,k,-k), (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) и те полученные перестановки