1) a) -1 <= cos(...) <= 1 - очевидно, что это необходимое и достаточное условие, тогда x = pi/4 +- arccos(2a - 7) + 2pi n -1 <= 2a - 7 <= 1 6 <= 2a <= 8 3 <= a <= 4 б) котангенс может принимать любые значения, значит, единственное ограничение - это a - 1 >= 0, т.к. модуль неотрицателен. a - 1 >= 0 a >= 1
2) а) Аналогично 1а), sin принимает значения от -1 до 1. -1 <= a - 3 <= 1 2 <= a <= 4
При этих a можно записать x/2 = (-1)^k arcsin(a - 3) + pi k x = (-1)^k 2arcsin(a - 3) + 2pi k ответ. при 2 <= a <= 4 x = (-1)^k 2arcsin(a - 3) + 2pi k; при остальных a решений нет. б) |tg 2x| = 5a + 6 5a + 6 >= 0 - т.к. это значение модуля a >= -6/5
При этих a левая и правая часть неотрицательны, возведем в квадрат: tg 2x = +-(5a + 6) 2x = +-arctg(5a + 6) + pi k x = +-arctg(5a + 6)/2 + pi k/2
В решении выше допущено 2 ошибки. Первая ---арифметическая: -3+2=-1, а не -5; вторая, более существенная, связана с неравносильностью преобразований.
Правильный ответ: х=3.
Прежде всего заметим, что при возведении уравнения в квадрат могут появиться новые корни, а именно корни уравнения -(х-1)=sqrt(2x^2-3x–5). Это произойдёт в том случае, если (х-1) < 0, т. е. при x < 1. Если же х-1 >= 0, то корень уравнения (х-1)^2=(sqrt(2x^2-3x–5))^2 будет также корнем исходного уравнения. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно не уравнению (х-1)^2=2x^2-3x–5,
а системе (х-1)^2=2x^2-3x–5, x >=1.
Сначала решаем уравнение: (х-1)^2=2x^2-3x–5 2x^2-3x–5-x^2+2x-1=0 x^2-x-6=0 x1=3, x2=-2. Второй корень не удовлетворяет условию x >=1, и, следовательно, не является корнем исходного уравнения. (Действительно, в этом случае sqrt(2x^2-3x–5)=3, а х-1=-3). Первый корень удовлетворяет условию x >=1, и, следовательно, является также корнем исходного уравнения. (Действительно, в этом случае sqrt(2x^2-3x–5)=2=х-1).
