Question

Найти площадь ограниченной фигуры y=16/x^2, x=4, y=2x или хотя бы напишите начальную функцию 16/x^2

Answer 1

Функции $y=\dfrac{16}{x^2 }$ отличается от $y=\dfrac{16}{x}$ при x>0 тем, что она быстрее убывает. Функция $y=\dfrac{16}{x^2 }$ - чётная т.к. степень при единственном "x" чётная.

y=2x - функция прямой пропорциональности (y=kx), её график будет в 3 и 1 четверти (k>0), поэтому пересечении с $y=\dfrac{16}{x^2 }$ может быть только в 1 четверти. Такое же и с прямой x=4.

Найдём абсциссу точки пересечения функций $y=\dfrac{16}{x^2 }$ и y=2x.

$\displaystyle \frac{16}{x^2 } =2x;2x^3 =16;x^3 =2^3 \\\\x=2; \frac{16}4 =4=2\cdot 2$

Абсцисса точки пересечения графиков функций $y=\dfrac{16}{x^2 }$, x=4 и y=2x, x=4 уже известна (x=4).

Схематичный график смотри внизу.

Получается, что

$\tt \displaystyle S=\int _2 ^4 2x\;dx -\int _2 ^4 \frac{16}{x^2 } \;dx =\int _2 ^4 \begin{pmatrix}\tt 2x-\frac{16}{x^2} \end{pmatrix}\;dx=\\\\=\begin{pmatrix}\tt x^2+\frac{16}x \end{pmatrix} \begin{vmatrix}\\\end{matrix} ^4 _2 =\begin{pmatrix}\tt 4^2+\frac{16}4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}\tt 2^2+\frac{16}2 \end{pmatrix} =\\\\=20-12=8$

ответ: 8.