Question

Докажите,что число (√2-1)в сотой степени можно представить в виде √m+1-√m,где m натуральное число.

Answer 1

Если в числе $( \sqrt{2} -1)^{100}$  раскрыть 100-ую степень по биному Ньютона, то получится сумма слагаемых вида  $C_{100}^k(\sqrt{2})^{k}(-1)^{100-k}$ по k от 0 до 100. При четных k эти слагаемые будут натуральными числами, а при нечетных k они имеют вид $-a\sqrt{2}$, где а - натуральное. Значит, $( \sqrt{2} -1)^{100}=A-B\sqrt{2}$, при некоторых натуральных $A$ и $B$. (для решения задачи нет нужды их явно вычислять). Опять же из бинома Ньютона понятно, что тогда $( \sqrt{2} +1)^{100}=A+B\sqrt{2}$, т.к. в нем будут те же слагаемые, только все со знаком плюс. Перемножив эти два соотношения, получим $A^2-2B^2=(A-B\sqrt{2})(A+B\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)^{100}(\sqrt{2}+1)^{100}=1$, то есть $A^2=2B^2+1$. Поэтому, если положим $m=2B^2$, то получим, что $\sqrt{m+1}-\sqrt{m}=\sqrt{2B^2+1}-\sqrt{2B^2}=\sqrt{A^2}-\sqrt{2B^2}=\\=A-B\sqrt{2}=( \sqrt{2} -1)^{100}.$