На доске написали пять последовательных натуральных чисел, а потом одно число стёрли. оказалось, что сумма оставшихся четырех чисел равна 2015. найдите наименьшее из этих четырех чисел.

👇

Ответ:

Нezнaйка

03.10.2022

Если 2015 разделить на 4 части будет 503,75, соответственно ответ строится из натуральных чисел вблизи данного числа, причем сумма последних цифр от этих чисел должна составлять 15, это: 502,503,504 и 506 (505 стёрли). Наименьшее число - это 502.

4,6(39 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Пакмен007

03.10.2022

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

$a+c \equiv b + d \ (mod \ m)$

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

$ac \equiv bd \ (mod \ m)$

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

$a = 5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45}$

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, $16 \equiv (-1) \ (mod \ 17)$ , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что $32 \equiv 1 \ (mod \ 31)$ , получаем

$5\cdot 2^{51} = 5\cdot 2^1 \cdot 2^{50}=10 \cdot 2^{10\cdot 5} = 10 \cdot (2^{5})^{10}= 10\cdot 32^{10} \equiv 10 \cdot 1^{10} \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

$21\cdot 32^{45} \equiv 21 \cdot 1^{45}\ (mod \ 31) \equiv 21 \ (mod \ 31)$

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

$5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45} \equiv 10+21 \ (mod \ 31) \equiv 31 \ (mod \ 31) \equiv 0 \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

4,6(78 оценок)

Ответ:

katyabicheva

03.10.2022

$y = x^{2} + 3x + 4$

Найдем уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой $x_{0} = -2$

Для этого найдем производную данной функции:

$y' = (x^{2} + 3x + 4)' = 2x + 3$

Найдем значение функции в точке с абсциссой $x_{0} = -2$ :

$y(-2) = (-2)^{2} + 3 \cdot (-2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$

Найдем значение производной данной функции в точке с абсциссой $x_{0} = -2$ :

$y'(-2) = 2 \cdot (-2)+ 3 = -4 + 3 = -1$

Уравнение касательной имеет вид:

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$

Подставим значение $f'(x_{0}) = -1, \ f(x_{0}) = 2, \ x_{0} = -2$

y = -(x + 2) + 2 = -x - 2 + 2 = -x

Итак, уравнение касательной заданной функции: y = -x

Воспользуемся геометрическим смыслом касательной: коэффициент наклона касательной y = kx + b численно равен тангенсу угла наклона $\text{tg} \ \alpha$ с положительным направлением оси