* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
При каком значении параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения: (x + 4/x)² + (a - 4)(x + 4/x) - 2a²+a +3 =0
ответ: a ∈ ( - 5 ; - 0,5 ) ∪ (3 ; 3,5 ).
Объяснение: Частный случай (для двух неотрицательных чисел) неравенства Коши: (a+b)/2 ≥ √ab . || сред. арифм. ≥ ср. геом. ||
Поэтому: x + 4/x ≥ 4 ,если x >0 или x + 4/x ≤ - 4 ,если x < 0 .
* * * если x < 0: ( (-x) + ( -4/x) ) ≥ √( ( -x)*(-4/x) ) = 2 ⇔ x + 4/x ≤ - 4 * * *
* * * x + 4/x ∉ ( - 4 ; 4 ) * * *
(x + 4/x)² - (4 -a)(x + 4/x) - 2a²+a +3 =0
Это уравнение квадратное относительно x + 4/x ; после замена ( для удобства ) x + 4/x = t , t ∉ ( - 4 ; 4 ) получаем :
t² - (4 - a)t -2a²+a +3 =0 ,
D =(4-a)²-4(-2a²+a +3)=16 -8a +a²+8a²-4a -12 =9a²-12a+4 =(3a -2)² ≥ 0
t₁= (4-a+3a -2)/2 =a+1
t₂ =(4-a -3a +2)/2 =3 -2a.
Если D = 3a -2 = 0 ⇔ a = 2/3 ⇒ t₁ =t₂ = 5/3 ∈ ( - 4; 4 ) → исходное
уравнение не имеет корней .
Исходное уравнение будет имеет ровно 2 различных решения
Система неравенств ( пишу в одной строке, разделены запятой )
а) { a+1 > 4 ; - 4 < 3 -2a < 4 .
⇔ { a > 3 ; - 4 < 2a -3 < 4.⇔ {a > 3 ; - 0,5 < a < 3,5. ⇔
⇒ a ∈ (3 ; 3,5 ).
(3)
( - 0,5)(3,5)
б) { 3 -2a > 4 ; - 4 < a+1 < 4 .
⇔{ 2a - 3 < - 4 ; -4 - 1 < a < 4 -1 .⇔ { a< -0,5 ; -5 < a < 3.
⇒ a ∈ ( -5 ; -0,5 ).
( - 0.5)
( -5)(3)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
в) { a+1 < - 4 ; - 4 < 3 -2a < 4 .
⇔ { a+1 < - 4 ; - 4 < 2a -3 < 4 . ⇔ { a+1 < - 4 ; 1 < 2a+2< 9. ⇒a ∉∅.
{ a+1 < - 4 ; 0,5 < a+1 < 4,5 . ⇒ a ∉∅.
г) { 3 -2a < - 4 ; - 4 < a+1 < 4 .
⇔{ 2a-3 > 4 ; -4 -1 < a < 4 -1 .⇔{ a> 3,5 ; -5 < a < 3 . ⇒a ∉∅
b)
3
x
+3
x+2
<270
3
x
+3
2
∗3
x
<270
3
x
+9∗3
x
<270
10∗3
x
<270 ∣:10
3
x
<27
3
x
<3
3
x<3.
ответ: x∈(-∞;3).
h)
\4*4^x-2\geq 7*2^x\\4*(2^2)^x-7*2^x-2\geq 0\\4*2^{2x}-7*2^x-2\geq 0\\\
4∗4
x
−2≥7∗2
x
4∗(2
2
)
x
−7∗2
x
−2≥0
4∗2
2x
−7∗2
x
−2≥0
Пусть 2ˣ=t ⇒
\4t^2-7t-2\geq 0\\4t^2-8t+t-2\geq 0\\4t*(t-2)+(t-2)\geq 0\\(t-2)*(4t+1)\geq 0\\(2^x-2)*(4*2^x+1)\geq 0\\4*2^x+1 > 0\ \ \ \ \Rightarrow\\2^x-2\geq 0\\2^x\geq 2\\2^x\geq 2^1\\x\geq 1.\
4t
2
−7t−2≥0
4t
2
−8t+t−2≥0
4t∗(t−2)+(t−2)≥0
(t−2)∗(4t+1)≥0
(2
x
−2)∗(4∗2
x
+1)≥0
4∗2
x
+1>0 ⇒
2
x
−2≥0
2
x
≥2
2
x
≥2
1
x≥1.
ответ: x∈[1;+∞).
(1500 - х)уч. было во 2 школе.
1,1х уч. - стало в 1 школе
1,2(1500 -х) уч - стало во 2 школе
Всего в 2-х школах стало 1720 уч.
1,1х +1,2(1500-х) = 1720
1,1х -1,2х +1800 =1720
-0,1х = -80
х = 800
800 уч.- было в 1 школе первоначально.
1500-800 = 700 уч. - было во 2 школе первоначально.