Дано: 10 различных цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Составить число кратное 11.
Признак делимости на 11: сумма цифр числа, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.
Сумма всех 10-и цифр: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45, 45/2=22(ост.1), поэтому, поскольку в искомом числе должно быть равное количество четных и не четных мест, суммацифр на четных местах не может быть равна сумме цифр на нечетных.
Тогда нужно проверить 2-ю часть признака делимости:
45-11=34
34/2=17
45-17=28
28-17=11, значит сумма чисел, стоящтх на нечетных местах( 1; 3; 5; 7; 9) должна быть = 17, а на четных местах (2; 4; 6; 8; 10) = 28.
Теперь нужно разложить 17 и 28, каждое, на 5 слагаемых:
17=1+2+3+4+7
28=5+6+8+9+0
ответ: Данное разложение возможно, значит такое число существует.
Искомое число: 1526384970.
В задании сказано, составить число, поэтому найдено 1 число, на самом деле, таких чисел 5!+5!=2*5!=2(5*4*3*2*1)=240, потому, что при перестановке мест слагаемых сумма не меняется, поэтому сумма чисел, стоящих на нечетных местах, может быть в 120 вариантах 5*4*3*2*1=120, и сумма чисел, стоящих на четных местах может быть тоже в 120 вариантах (включая 0, потому, что 0 стоит на четном месте, поэтому никогда не встанет на 1 место, что могло бы изменить число с 10-и значного на 9-и значное)
Проверка с калькулятора:
1526384970/11=38762270
По всей видимости, максимальная протяжённость маршрута составит 34 улицы. Число пройденных улиц равно числу перекрёстков, которые удалось посетить, минус один (поскольку начальную точку мы "посетили" изначально, не пройдя ещё ни одной улицы). На один перекрёсток зайти так и не получится: к каждому пройденному перекрёстку подходит 2 улицы, по которым надо пройти. В нашем случае непройденным остался один перекрёсток, и к нему нельзя подойти, не пройдя дважды по другим перекрёсткам.
Докажем теперь, что в данном случае один перекрёсток останется не пройденным.
Перекрёстки условно можно раскрасить в шахматном порядке в белый и чёрный цвет. Каждая улица соединяет два перекрёстка: один "черный", а другой - "белый". На нашей карте всего 36 перекрёстков, по 18 каждого "цвета". Причём два перекрёстка являются начальной и конечной точками пути, а остальные 34 ещё надо посетить. Однако, расположение начальной и конечной точек пути таково, что обе этих точки имеют одинаковый цвет. Это означает, что среди оставшихся перекрёстков будет 16 перекрёстков одного цвета и 18 другого.
Но ведь, чтобы пройти маршрут от О к В, надо построить такую последовательность точек, чтобы в ней чередовались цвета (черный-белый-черный и так далее). Имея в распоряжении 16 точек одного цвета и 18 другого, нельзя построить такую последовательность: из 18 точек одна останется лишней. Это и есть тот перекрёсток, на который не удастся зайти.
И, кстати, "цвет" этого оставшегося перекрёстка - не такой как у точек начала и конца, что видно на рисунке. Это будет справедливо и для любого другого маршрута с нашими начальными условиями.
Пройти по улицам, зайдя на все перекрёстки, можно будет лишь при таком расположении начала и конца, при котором эти точки окажутся разных "цветов". Или, что то же самое, если расстояние от начальной до конечной точки будет составлять нечётное число улиц.