Question

Решите уравнение кубический корень из 81x + куб. корень из 243x^2 = 6

Answer 1

Решить уравнение:
      $\sqrt[3]{81x} + \sqrt[3]{243x^2} =6$
                         Решение:
Сделаем замену. Пусть $\sqrt[3]{x} =a$, тогда получаем исходное квадратное уравнение.
$\sqrt[3]{81} a+ \sqrt[3]{243} a^2=6\\ \sqrt[3]{81} a+ \sqrt[3]{243} a^2-6=0$
$D=b^2-4ac=( \sqrt[3]{81})^2-4\cdot \sqrt[3]{243} \cdot (-6)=81 \sqrt[3]{9} \\ \sqrt{D} =9 \sqrt[3]{3}$
D>0, значит уравнение имеет 2 корня
 $a_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-3 \sqrt[3]{3}-9 \sqrt[3]{3} }{2\cdot \sqrt[3]{9} } =- \frac{2 \sqrt[3]{9} }{3} \\a_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-3 \sqrt[3]{3}+9 \sqrt[3]{3} }{2\cdot \sqrt[3]{9} } = \frac{\sqrt[3]{9} }{3}$
Вовзращаемся к замене
$\sqrt[3]{x} =-\frac{2\sqrt[3]{9} }{3} \\ x_1=- \frac{8}{3} \\\\ \sqrt[3]{x} =\frac{\sqrt[3]{9} }{3} \\ x_2= \frac{1}{3}$

Окончательный ответ: $-\frac{8}{3}\,;\,\frac{1}{3}.$