Y = (3/2)*x*ln^(-1/3)x Найдем точки разрыва функции. x₁ = 1 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. f`(x) = 3 / [2* (lnx)²/³ ] - 1 /[2*ln⁴/³(x)] или f`(x) = [3*lnx - 1] / [2*ln⁴/³(x)] Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 3 ln(x) - 1 = 0 Откуда: x₁ = e¹/³ (0 ;1) f`(x) = 0 (1; e¹/³) f'(x) < 0 функция убывает (e¹/³ ; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает В окрестности точки x = e¹/³ производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = e¹/³ - точка минимума.
Без графиков можно так. Если (x₀,y₀) - какое-нибудь решение и |x₀|≠|y₀|, то (-x₀,-y₀), (y₀,x₀), (-y₀,-x₀) - еще 3 различных решения. Значит, чтобы было 2 решения, должно быть x₀=y₀, либо x₀=-y₀. 1) Если x₀=y₀, то |x₀|=1/2=|y₀|, откуда а=1/2. Из неравенства |x+y|≤|x|+|y|≤√(2(x²+y²)) верного для всех х,у при а=1/2 получаем 2-|x|-|у|≤|x|+|y|≤1, т.е. |x|+|y|=1. Подставляя это во второе уравнение системы, получим 4 точки, из которых подходят только две: (1/2;1/2) и (-1/2;-1/2). Т.е. при а=1/2 система действительно имеет только 2 решения. 2) Если x₀=-y₀, то |x₀|=1=|y₀|, откуда а=2. Из неравенства 2|x|=|(x+y)+х+(-у)|≤|x+у|+|x|+|y|=2, следует что |x|≤1 и аналогично |y|≤1, а значит x²+y²=2 может быть только если |x|=1 и |y|=1. Из 4 точек подходят только две (-1;1) и (1;-1), значит при а=2 система тоже имеет только 2 решения. Итак, ответ: а∈{1/2; 2}.
Найдем точки разрыва функции.
x₁ = 1
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f`(x) = 3 / [2* (lnx)²/³ ] - 1 /[2*ln⁴/³(x)]
или
f`(x) = [3*lnx - 1] / [2*ln⁴/³(x)]
Находим нули функции.
Для этого приравниваем производную к нулю
3 ln(x) - 1 = 0
Откуда:
x₁ = e¹/³
(0 ;1) f`(x) = 0
(1; e¹/³) f'(x) < 0 функция убывает
(e¹/³ ; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает
В окрестности точки x = e¹/³ производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = e¹/³ - точка минимума.