Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= - 16/3 * x^(3/2) + 1/3 *x^3 на промежутке [1; 9]

Answer 1

$y = -\dfrac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3} x^3$

Степенная функция с рациональным показателем степени определена при х > 0.

$y'=(-\dfrac{16}{3} x^{\frac{3}{2}})' + (\dfrac{1}{3} x^3)'=-\dfrac{16}{3}*\dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{3}*3 x^2 =\\ \\ =-8x^\frac{1}{2} +x^2 =x^2-8x^{\frac{1}{2}} =x^\frac{1}{2} (x^\frac{3}{2} - 8)$

В точках локальных экстремумов первая производная равна нулю.

$y'=x^\frac{1}{2} (x^\frac{3}{2} - 8)=0\\ \\ 1) x^\frac{1}{2} =0; x_1 = 0\\ \\ 2) x^\frac{3}{2} - 8=0; (\sqrt{x} )^3=2^3;\sqrt{x} =2; x_2=4$

Точка x₁ = 0 в промежуток [1; 9] не попадает.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале, нужно вычислить значение функции в точках экстремумов и на концах интервала.

$x=1; y = -\dfrac{16}{3}* 1^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3}* 1^3=-\dfrac{16}{3} +\dfrac{1}{3} =-5\\ \\ x=4; y = -\dfrac{16}{3}* 4^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3}* 4^3=-\dfrac{16*8}{3} +\dfrac{64}{3} =-21\dfrac{1}{3} \\ \\ x=9;y = -\dfrac{16}{3}* 9^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3} *9^3=-\dfrac{16*3^3}{3} + \dfrac{3^6}{3}=-144+243=99$

ответ: наименьшее значение функции f(4) = $-21\dfrac{1}{3}$;

            наибольшее значение функции f(9) = 99