Из данных выражений: 7m^2+56m,7m^3+14,7m+5,6m+7,3m,14m+21,7m-2,14m^3+21m^2+7 выберите те,которые: а)делятся на 7 при любом m б)не делятся на 7 при каком целом m в)делятся на 7 при некоторых целых значениях m
А) 7m^2+56m=7(m^2+8m); 7m^3+14=7(m^3+2); 14m+21=7(2m+3); 14m^3+21m^2+7=7(2m^3+3m^2+1) б) 7m+5 - при любом m дает остаток 5; 7m-2 - тоже дает остаток 5 в) 6m+7; 3m - делятся на 7, когда m делится на 7
Предположим, что утверждение верно для n=k. Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. Так как , следуя предположению то прибавив к данному выражению d. Мы получим следующий член . Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.
2) База : 1 Проверка: .
Предположение:
Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при :
Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.
3) Это не формула общего члена, это формула суммы. При получается деление на ноль, поэтому сразу пишем База: 1 Предположим, что формула верна для: Покажем и докажем что формула верна для : Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме. Ч.Т.Д.
проверено.
![a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk](/tpl/images/0582/6750/35dc7.png)
![S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}](/tpl/images/0582/6750/67d86.png)
. ![n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}](/tpl/images/0582/6750/b9ca4.png)
:
получается деление на ноль, поэтому сразу пишем 
![b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}](/tpl/images/0582/6750/552be.png)
14m^3+21m^2+7=7(2m^3+3m^2+1)
б) 7m+5 - при любом m дает остаток 5; 7m-2 - тоже дает остаток 5
в) 6m+7; 3m - делятся на 7, когда m делится на 7