Question

Сos2x+cos4x+cos(pi-3x)=0 2)sin5x+sin2x+sin3x+sin4x=0 3)cos5x+cos2x+cos3x+cos4x=0 4)cos((pi/2)-x)-six3x+sin5x=0

Answer 1

$1)\; cos2x+cos4x+cos(\pi -3x)=0\; \; \to \; \; (cos2x+cos4x)-cos3x=0\\\\cos \alpha +cos \beta =2cos\frac{ \alpha + \beta }{2}\cdot cos\frac{ \alpha - \beta }{2}\\\\2cos3x\cdot cosx-cos3x=0\\\\cos3x(2cosx-1)=0\\\\a)\; cos3x=0\; ;\; 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n\; ,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in Z\\\\b)\; cosx=\frac{1}{2}\; ,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in Z$

$2)\; (sin5x+sin2x)+(sin3x+sin4x)=0\\\\sin \alpha +sin \beta =2sin\frac{ \alpha + \beta }{2}\cdot cos\frac{ \alpha - \beta }{2}\\\\2sin\frac{7x}{2}cos\frac{3x}{2}+2sin\frac{7x}{2}cos\frac{x}{2}=0\\\\2sin\frac{7x}{2}(cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2})=0\\\\a)\; sin\frac{7x}{2}=0\; ,\; \frac{7x}{2}=\pi n,\; x=\frac{2\pi n}{7}\; ,\; n\in Z\\\\b)\; cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}=0\\\\2cosx\cdot cos\frac{x}{2}=0\; \; \to \\\\cosx=0\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in Z\\\\cos\frac{x}{2}=0$

$\frac{x}{2} =\frac{\pi}{2}+\pi m,\; x=\pi +2\pi m,\; m\in Z\\\\3)\; cos5x+cos2x+cos3x+cos4x=0\\\\2cos\frac{7x}{2}cos\frac{3x}{2}+2cos\frac{7x}{2}cos\frac{x}{2}=0\\\\2cos\frac{7x}{2}(cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2})=0\\\\a)\; cos\frac{7x}{2}=0,\; \frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\; n\in Z\\\\b)\; 2cosx\cdot cos\frac{x}{2}=0\\\\cosx=0\; ,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in Z\\\\cos\frac{x}{2}=0\; ,\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m,\; x=\pi +2\pi m,\; m\in Z$

$4)\;cos(\frac{\pi}{2}-x) -sin3x+sin5x=0\\\\sinx-sin3x+sin5x=0\\\\2sin3x\cdot cos2x-sin3x=0\\\\sin3x(2cos2x-1)=0\\\\a)\; sin3x=0\; ,\; 3x=\pi n,x=\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\\\\b)cos2x=\frac{1}{2}\; ,\; 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in Z\\$