Добрый день! Я с удовольствием помогу вам разобраться с этим математическим вопросом.
Для начала давайте разберемся, что такое точка экстремума. Точка экстремума функции - это точка на графике функции, в которой функция достигает максимального или минимального значения. В данном случае, нам нужно найти точки, в которых функция y=4x−8cosx достигает максимума или минимума.
Для решения этой задачи используем метод дифференцирования. Дифференцирование поможет нам найти значения производной функции, которые будут использоваться для нахождения экстремумов.
1. Вначале найдем производную функции y=4x−8cosx. Возьмем производную от каждого слагаемого функции по отдельности:
y' = (4x)' - (8cosx)'
= 4 - (-8sinx)
= 4 + 8sinx
2. Уравняем найденную производную функции y' равной нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю:
4 + 8sinx = 0
4. Для нахождения значений x, найдем обратный синус (-1/2):
x = arcsin(-1/2)
5. Определим интервал, в котором ищем значения x: x∈[−π/2;π]. В данном случае, x будет принадлежать только этому интервалу.
Теперь найдем точки экстремума, подставляя значения x в исходную функцию y=4x−8cosx и анализируя полученные результаты:
а) Когда x = arcsin(-1/2):
y = 4x - 8cosx
y = 4(arcsin(-1/2)) - 8cos(arcsin(-1/2))
Для нахождения значения этого выражения, нам понадобится использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. Вычислим сначала значение arcsin(-1/2):
arcsin(-1/2) ≈ -π/6
Подставим это значение в исходную функцию:
y = 4(-π/6) - 8cos(-π/6)
y = -2π/3 + 4√3/2
y ≈ -2π/3 + 2√3
Таким образом, первая точка экстремума имеет координаты (arcsin(-1/2), -2π/3 + 2√3).
б) Затем рассмотрим значение x в интервале (-π/2, π), когда sinx > -1/2. В данном случае, производная положительна (так как sinx > -1/2), что означает, что функция возрастает на этом интервале и не достигает точек экстремума.
в) Когда x = π:
y = 4π - 8cosπ
y = 4π + 8
y ≈ 8 + 4π
Таким образом, вторая точка экстремума имеет координаты (π, 8 + 4π).
В итоге, мы нашли две точки экстремума и определили их характер: первая точка является минимумом функции, а вторая точка - максимумом функции.
Надеюсь, данное объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!
Для нахождения точек пересечения функции f(x) = x^2 + 3x + 2 с осями координат, нужно найти значения x, при которых y равно нулю.
Для начала, обратимся к осям координат. Ось x находится горизонтально, а ось y - вертикально. Когда точка пересекает ось x, y равно нулю, и наоборот, когда точка пересекает ось y, x равно нулю.
1. Для определения точки пересечения с осью y, нужно найти значение x, когда y равно нулю (или функция равна нулю). В данном случае, мы ищем значения x для f(x) = 0:
x^2 + 3x + 2 = 0
Для решения этого уравнения, мы можем использовать факторизацию, разложение на множители или квадратное уравнение.
Но прежде чем продолжить, заметим, что данное квадратное уравнение не имеет решений. Почему? Посмотрим на дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1
Дискриминант равен 1, что означает, что уравнение имеет два вещественных корня. Однако, в данном случае дискриминант равен 1, а не равен нулю, поэтому уравнение не имеет вещественных корней.
Таким образом, у уравнения нет точек пересечения с осью y.
2. Теперь посмотрим на пересечение с осью x. Чтобы найти значения x, когда y равно нулю, нам нужно приравнять выражение f(x) = x^2 + 3x + 2 к нулю:
x^2 + 3x + 2 = 0
Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение для нахождения решений. Попробуем использовать факторизацию:
(x + 1)(x + 2) = 0
Теперь мы можем решить этот уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:
x + 1 = 0 или x + 2 = 0
Решая каждое уравнение, получим значения x:
x = -1 или x = -2
Таким образом, точки пересечения функции f(x) = x^2 + 3x + 2 с осью x равны (-1, 0) и (-2, 0).
Теперь, когда точки пересечения с осями координат определены, мы можем указать их на координатной плоскости:
Точка пересечения с осью x (-1, 0) обозначается на графике как точка на оси x, где y = 0.
Точка пересечения с осью x (-2, 0) также обозначается на графике как точка на оси x, где y = 0.
Таким образом, точки пересечения с осями координат f(x) = x^2 + 3x + 2 равны (0, 2), (-1, 0) и (-2, 0).
