Давайте рассмотрим каждое из данных двойных неравенств отдельно и найдем значения переменной х, для которых неравенства выполняются.
1) 0 ≤ х^2 - 4х < 5
Для начала, приведем неравенство к виду х^2 - 4х - 5 ≥ 0. Теперь решим квадратное уравнение х^2 - 4х - 5 = 0:
D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5
х2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1
Теперь построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 5 на отрезке между найденными корнями:
-∞ -1 5 ∞
+ - + +
Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала [-1, 5], то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: -1 ≤ х ≤ 5.
2) -2 < 3х^2 - 4х - 1 < 2
Приведем неравенство к виду 3х^2 - 4х - 1 > -2 и 3х^2 - 4х - 1 < 2:
3х^2 - 4х + 1 > -2
3х^2 - 4х - 1 < 2
Решим первое неравенство:
3х^2 - 4х + 3 > 0
D = (-4)^2 - 4 * 3 * 3 = 16 - 36 = -20
Так как дискриминант D меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Из этого следует, что неравенство 3х^2 - 4х + 3 > 0 никогда не выполняется.
Решим второе неравенство:
3х^2 - 4х - 3 < 0
D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-3) = 16 + 36 = 52
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √52) / 6
х2 = (4 - √52) / 6
Построим таблицу знаков для значения функции 3х^2 - 4х - 3 на отрезке между найденными корнями:
-∞ х1 х2 ∞
- + - +
Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала (х1, х2), то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: х1 < х < х2.
3) 2 ≤ 2х^2 - 5х + 2 < 4
Приведем неравенство к виду 2х^2 - 5х + 2 ≥ 2 и 2х^2 - 5х + 2 < 4:
2х^2 - 5х ≥ 0
2х^2 - 5х < 2
Решим первое неравенство:
2х^2 - 5х = 0
х(2х - 5) = 0
Из этого следует, что х = 0 или х = 5/2. Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х на отрезке между найденными корнями:
-∞ 0 5/2 ∞
- 0 + +
Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при х в интервалах (-∞, 0] и [5/2, +∞).
Решим второе неравенство:
2х^2 - 5х - 2 < 0
D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-2) = 25 + 16 = 41
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (5 + √41) / 4
х2 = (5 - √41) / 4
Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х - 2 на отрезке между найденными корнями:
-∞ х1 х2 ∞
+ - + +
Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервала (х2, х1), то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: х2 < х < х1.
4) -2 ≤ х^2 - 4х < 5
Приведем неравенство к виду х^2 - 4х + 2 ≥ -2 и х^2 - 4х + 2 < 5:
х^2 - 4х ≥ -4
х^2 - 4х < 3
Решим первое неравенство:
х^2 - 4х + 4 ≥ 0
(х - 2)^2 ≥ 0
Это неравенство выполняется для всех значениях х. Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х + 2 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:
-∞ ∞
+ +
Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при любых значениях х.
Решим второе неравенство:
х^2 - 4х - 3 < 0
Данное неравенство выполняется на интервале (-∞, 3) и (1, +∞). Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 3 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:
-∞ 1 3 ∞
- - + +
Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервалов (1, 3) и (-∞, 1).
Для начала, давайте разберемся с каждым компонентом выражения по отдельности:
1. Корень 12:
Чтобы упростить это выражение, мы должны найти квадратный корень из числа 12. Квадратный корень из 12 можно приближенно рассчитать следующим образом:
- Найдем два числа, у которых квадрат является наименьшим числом, меньшим или равным 12. Эти числа являются 3 и 4.
- Из этих двух чисел ближе к 12 находится 4.
- Таким образом, корень из 12 составляет чуть меньше 4.
2. 5 корень корень 27:
Здесь имеется немного сложнее выражение. Для начала, давайте найдем корень из 27:
- Найдем два числа, у которых куб равен наименьшему числу, меньшему или равному 27. Эти числа являются 3 и 4.
- Из этих двух чисел ближе к 27 находится 3.
- Затем возьмем квадратный корень из 3, который составляет приблизительно 1.7.
Наконец, умножим 5 на 1.7:
- 5 * 1.7 = 8.5
3. Корень 48:
Как и в первом случае, мы должны найти квадратный корень из числа 48. Квадратный корень из 48 можно приближенно рассчитать следующим образом:
- Найдем два числа, у которых квадрат является наименьшим числом, меньшим или равным 48. Эти числа являются 6 и 7.
- Из этих двух чисел ближе к 48 находится 7.
- Таким образом, корень из 48 составляет чуть меньше 7.
Теперь, когда у нас есть упрощенные выражения для каждого компонента, мы можем объединить их:
Корень 12 + 5 корень корень 27 - корень 48
≈ 4 + 8.5 - 7
≈ 4 + 1.5
