Question

Найти число членов арифметической прогрессии, разность которой 12, последний - член - 15 и сумма всех членов 456

Answer 1

Арифметическая прогрессия - некоторая последовательность, упорядоченные элементы которой рекурсивно (то есть выведены из некоторого правила, которое сводится само к себе) заданы некоторым числом q, таким, что a(i)=a(i-1)+q (само правило).
Суммой n элементов прогрессии будет число, заданное формулой:
$S= \frac{a(1)+a(n)}{2} *n$
Кстати, эту формулу легко запомнить, если почитать эдакую легенду про великого математика Гаусса. В школе он великолепно решал задачи по математике и вел себя отвратительно (много шумел и не сидел на месте), поскольку решал все много быстрее остальных. И вот учитель решил его нагрузить такой задачкой(дабы заставить его хоть немного посидеть на месте :) ) - сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100) Учитель думал, что Гаусс будет долго работать над этой задачкой, ан нет - он, посмотрев на сумму, складывая такие элементы, как 1 и 99, 2 и 98, что ответом будет как раз число S и буквально за две минуты справился с задачей, чем немало удивил учителя).
Давайте попробуем буквально, можно сказать, повторить путь маленького Гаусса, однако теперь нам неизвестна не сумма, а количество элементов (понадобится уравнение). Однако нам известен только последний элемент прогрессии, а в формуле фигурирует еще и первый.
Давайте выразим a(n) через a(1).
a(n)=a(1)+d(n-1)
То есть a(1)=a(n)-d(n-1)
Подставим в формулу
$S= \frac{a(n)-d(n-1)+a(n)}{2} *n= \frac{2na(n)-dn(n-1)}{2}$
$2na(n)-dn(n-1)=2S$
$2na(n)-dn^2+dn-2S=0$
$-dn^2+n(2a(n)+d)-2S=0$
$dn^2-(2a(n)+d)n+2S=0$
Все коэффициента известны, можно решать уравнение.
d=12; a(n)=15, S=456 
И вот тут возникают проблемы. При выводе формулы получаю абсолютно верный, справедливый результат (описанный выше). Тогда как дискр квадратного уравнения отрицателен выходит (и при a(n)=-15, и при 15)
Вероятнее всего, у вас где-то ошибка в задании, либо же ответом будет: такой прогрессии не существует. И, вообще говоря, логично -
разность положительна, последний член всего-лишь 15, а сумма АЖ 456. Перепроверьте задание :)
$dn^2-(2a(n)+d)n+2S=0$
Дорешаю уравнение (сделаю вывод хотя-бы, потом просто подставите в результат значения).
D=(2a(n)+d)^2-8dS
D=$4a^2(n)+4da(n)+d^2-8dS=4a^2(n)+d(d-8S+4a(n))$
Тогда искомый n равен
$n= \frac{(2a(n)+d)+ \sqrt{4a^2(n)+d(d-8S+4a(n))} }{d}$