Question

Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x э [3п/4; п]

Answer 1

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2*\alpha)$

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть $t=3x+\frac{\pi}{4}$,  то уравнение переписывается следующиим образом

$\cos^2(t)-\sin^2(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$.

$\cos(2t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Если подставить значение t, то получим

$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

$\cos(6x)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(6x)\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\sin(6x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(6x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$6x=(-1)^k*\frac{\pi}{3}+\pi*k, \quad k\in Z$

$x=(-1)^k*\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{6}*k, \quad k\in Z$

Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$,

$k=5 \qquad -\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{18}+\frac{15\pi}{6}=\frac{14\pi}{18}=\frac{7\pi}{9}$

Докажем, что $\frac{7\pi}{9}\in [\frac{3\pi}{4};\pi]$

$\frac{7\pi}{9}=\frac{28\pi}{36};\quad \frac{3\pi}{4}=\frac{27\pi}{36}$

$\frac{28\pi}{36}\in (\frac{27\pi}{36};\pi)$

$k=4 \qquad \frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{6}=\frac{13\pi}{18}$ Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

$\frac{13\pi}{18}=\frac{26\pi}{36}$

$\frac{26\pi}{36}<\frac{27\pi}{36}=\frac{3\pi}{4}$

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

ответ: при k=5  $x=\frac{7\pi}{9}$