Question

Точка с(3; -1) є центром кола, яке відтинає на прямій 2х-5у+18=0 хорду довжини 6. написати рівняння цього кол

Answer 1

Шукаємо серединний перпендикуляр до заданої хорди довжини 6. Він опущений з центра С заданого кола на задану пряму

$2x-5y+18=0$
$-5y=-2x-18$
$y=\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}$
у рівняння перпендикулярної пряммої до данної кутовий коєфіцієнт буде
$k_2=(-1):k_1=(-1):\frac{2}{5}=-\frac{5}{2}$

далі підставляючи в рівняння $y=kx+b$ відомі коєфіцієнт і координати точки С (яка належить серединному перпендикуляру)
знаходимо вільний коєффіцієнт b
$-1=-\frac{5}{2}*3+b$
$-2=-15+2b$
$-2b=-15+2$
$-2b=-13$
$b=-13:(-2)$
$b=\frac{13}{2}$
отже рівняння серединного перпендикуляра
$y=-\frac{5}{2}x+\frac{13}{2}$
$2y=-5x+13$
$5x+2y-13=0$

Тепер шукаємо точку перетину заданної прямої і серединного перпендикуляру - середину хорди
$5x+2y-13=0$
$2x-5y+18=0$
-------(метод додавання)
$10x+4y-26=0$
$10x-25y+90=0$
$29y=116$
$y=116:29$
$y=4$
--------------знаходимо тепер х, підставивши найдене значення y у друге рівняння системи
$2x-5*4+18=0$
$2x-20+18=0$
$2x=2$
$x=1$
отже координати середини хорди K (1;4)

врахововуєм, що половина довжини хорди 6:2=3

довжина СК: по формулі довжини відрізка заданого своїми координатами
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
$CK=\sqrt{(1-3)^2++(4-(-1))^2}=\sqrt{29}$

далі звідси радіус заданого кола
$R^2=3^2+CK^2$
$R^2=9+29$
$R^2=38$

по формулі кола
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$
отримуємо шукане рівняння
$(x-3)^2+(y+1)^2=38$