Question

Объясните почему в ответе только 5 должно получится.где я ошиблась что у меня два корня: корень из( x+4) -x+2=0

Answer 1

$\sqrt{x+4}-x+2=0\\ \sqrt{x+4}=x-2\\( \sqrt{x+4})^2=(x-2)^2\\x+4=x^2-4x+4\\x^2-4x-x=0\\x^2-5x=0\\x(x-5)=0$
x₁=0  или  х-5=0
                 х₂=5
Проверка:
х₁=0   √(0+4)-0+2=0
          √4 +2=0
           2+2=0
           4=0  (ложно)
х₁=0 не является корнем данного уравнения

х₂=5  √(5+4) -5+2=0
          √9  -3=0
           3-3=0
           0=0  (истинно)
х=5 - корень уравнения
ответ: 5

Answer 2

Классическое решение делается в двух основных частях:

1) Поиск ОДЗ – область допустимых значений.
2) Решение уравнения.

Немного о первом.
Все семь основных арифметических действий $+ , - , \cdot , : , x^n , \sqrt[n]{x} и \log_a{x}$ – имеют ОДНОЗНАЧНЫЙ результат. Вы, возможно знаете пока не все из них, но это не меняет ничего в рассуждениях. Однозначность действия означает, что при вычислении результата любого из них получается однозначный ответ. Ну, например, ведь нет такого, что у одного при вычислении $3 + 5 = 8 ,$ а у другого $3 + 5 = 7$ :–) ?! Конечно же, нет, это бы вызывало полную неразбериху и ни в одной науке ничего нельзя было бы вычислить ни по одной формуле. Но иногда, при изучении квадратного корня, учащиеся понимают это действие не совсем корректно, полагая, что $\sqrt{4} = 2 ,$ но одновременно с тем как бы и $\sqrt{4} = - 2 .$ Это ошибка! Так понимать действие корня нельзя. Любой калькулятор покажет именно $\sqrt{4} = 2 ,$ и это и есть верный результат вычислений, поскольку он единственный, так как любое арифметическое действие должно давать ОДНОЗНАЧНЫЙ результат.

Происхождение такого недоразумения вполне объяснимо. Это происходит из созвучности понятий «квадратный арифметический корень» и «корни нелинейного уравнения». Выше мы говорили именно о «квадратном арифметическом корне», и об однозначности этого арифметического действия, а что такое «корни нелинейного уравнения» можно проиллюстрировать на таком примере, как $x^2 = 4 .$ Корни этого нелинейного уравнения, как легко понять: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ или в короткой записи $x = \pm 2 ,$ что равносильно $x = \pm \sqrt{4} ,$ где сам «арифметический квадратный корень» $\sqrt{4}$ – это именно ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, а уж перед ним ставятся разные знаки, чтобы показать, что «корнями этого нелинейного уравнения» являются и само значение «квадратного арифметического корня» и число, противоположное ему. Аналогично, например, для уравнения: $x^2 = 7 .$ Корни этого нелинейного уравнения, как легко понять: $x = \pm \sqrt{7} ,$ где сам «арифметический квадратный корень» $\sqrt{7}$– это именно ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, а уж перед ним ставятся разные знаки, чтобы показать, что «корнями этого нелинейного уравнения» являются и само значение «квадратного арифметического корня» и число, противоположное ему.

Значит при поиске ОДЗ (область допустимых значений) нужно всегда учитывать, что подкоренное выражение (всё то, что стоит под знаком корня) во-первых: должно быть неотрицательным, потому что иначе нельзя извлечь корень, а во-вторых: результат вычисления самого арифметического квадратного корня должен быть равен тоже неотрицательному числу, по причинам, которые были подробно описаны в предыдущем абзаце. Есть ещё несколько простых принципов, по которым выстраивается логика ОДЗ, но в данной задаче они не нужны, так что не будем все их перечислять. А теперь решим задачу классическим

Р Е Ш Е Н И Е :

$\sqrt{ x + 4 } - x + 2 = 0$ ;

$\sqrt{ x + 4 } = x - 2$ ;

1. ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{l} x + 4 \geq 0 ; \\ x - 2 \geq 0 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} x \geq -4 ; \\ x \geq 2 . \end{array}\right$

$x \in [ 2 ; +\infty ]$ ;

2. Решение уравнения:

$( \sqrt{ x + 4 } )^2 = ( x - 2 )^2$ ;

$x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$ ;

$x + 4 = x^2 - 4x + 4$ ;

$x^2 - 5x = 0$ ;

$x ( x - 5 ) = 0$ ;

$x_1 = 0 ,$       это не соответствует ОДЗ, поскольку $x_1 = 0 \notin [ 2 ; +\infty ]$ ;

$x_2 = 5 ,$       что соответствует ОДЗ, поскольку $x_2 = 5 \in [ 2 ; +\infty ]$ ;

О Т В Е Т : $x = 5 .$