Question

Решите неравенство: (x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)≤ 0

Answer 1

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю. Произведение будет меньше нуля, если нечётное количество множителей будет отрицательным. Множители, возведенные в чётную степень всегда положительны, значит можно составить системы уравнений:
$(x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)\leq0\\ \begin{cases} x+4\leq0\\ -4x^2-16x-7\geq0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x+4\geq0\\-4x^2-16x-7\leq0 \end{cases}\\ -4x^2-16x-7=0\\ D=(-16)^2-4*(-4)*(-7)=144\\ x_1=\frac{16+12}{2*(-4)}=-3,5\ \ \ x_2=\frac{16-12}{2*(-4)}=-0,5\\ \begin{cases} x\leq-4\\ x\in[-3,5;-0,5] \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x\geq-4\\x\in(-\infty;-3,5]\cup[0,5;\infty) \end{cases}\\ x\in[-4;-3,5]\cup[0,5;\infty)$
Найдем решения, при которых произведение обращается в ноль:
$\begin{cases} x+1=0\\ x+4=0\\ 2x+5=0\\ -4x^2-16x-7=0 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} x=-1\\ x=-4\\ x=-2,5\\ x=-0,5; \ \ \ x=-3,5 \end{cases}$
ответ: $x\in[-4;-3,5]\cup[-2,5]\cup[-1]\cup[0,5;\infty)$